Διαφορά λόγων

KARKAR · #1

: Διαφορά λόγων.png (15.36 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Επί ημιευθείας η οποία διέρχεται από το άκρο

, τμήματος

, θεωρούμε

διαδοχικά σημεία P , T , Q

, ώστε να σχηματίζονται οι σημειούμενες γωνίες .

α) Δώστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός : $\dfrac{SP}{PT}-\dfrac{PT}{TQ}=1$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 13, 2021 11:48 am
Διαφορά λόγων.pngΕπί ημιευθείας η οποία διέρχεται από το άκρο , τμήματος , θεωρούμε

διαδοχικά σημεία , ώστε να σχηματίζονται οι σημειούμενες γωνίες .

α) Δώστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός : $\dfrac{SP}{PT}-\dfrac{PT}{TQ}=1$

α) Κατασκευάζω τρίγωνο OSQ

με $O\widehat SQ=\theta, S\widehat OQ=3\theta$ και φέρνω τη μεσοκάθετο του

που τέμνει

την

στο

Στη συνέχεια φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου OPQ

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

: Διαφορά λόγων.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 1075 φορές

β) $\displaystyle \frac{{SP}}{{PT}} - \frac{{PT}}{{TQ}} = \frac{{OP}}{{PT}} - \frac{{OP}}{{OQ}} = \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin \theta }} - \frac{{\sin 4\theta }}{{\sin 2\theta }} = 3 - 4{\sin ^2}\theta - 2\cos 2\theta \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{SP}}{{PT}} - \frac{{PT}}{{TQ}} = 3 - 2(1 - \cos 2\theta ) - 2\cos 2\theta \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{SP}}{{PT}} - \frac{{PT}}{{TQ}} = 1}$

Πιο πάνω εφαρμόστηκε ο νόμος ημιτόνων στα τρίγωνα OPT, OPQ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 13, 2021 11:48 am
Διαφορά λόγων.pngΕπί ημιευθείας η οποία διέρχεται από το άκρο , τμήματος , θεωρούμε

διαδοχικά σημεία , ώστε να σχηματίζονται οι σημειούμενες γωνίες .

α) Δώστε έναν τρόπο κατασκευής του σχήματος .

β) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός : $\dfrac{SP}{PT}-\dfrac{PT}{TQ}=1$

Κατασκευάζουμε ισοσκελές τρίγωνο OPQ

και τη διχοτόμο

κι έπειτα το συμμετρικό

του

ως προς την

H

τέμνει την

στο

και ισχύει OP=SP

Από θ.διχοτόμου $\dfrac{PT}{TQ} = \dfrac{PO}{OQ}= \dfrac{PS}{PQ}$ άρα

$\dfrac{SP}{PT}- \dfrac{PT}{TQ}= \dfrac{SP}{PT}- \dfrac{SP}{PQ}= \dfrac{SP.QT}{PQ.PT}= \dfrac{QT}{PT} . \dfrac{SP}{PQ}= \dfrac{OQ }{OP} . \dfrac{SP}{PQ}=1$

: διαφορά λόγων.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

#4

Οι δια των σημείων $S,\ P$ , παράλληλες ευθείες προς τις $OT,\ OQ$ , τέμνουν τις ευθείες $OP,\ OT$ , στα σημεία $K,\ L$ , αντιστοίχως.

Τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle POL,\ \vartriangle POS$ είνα ίσα και ισχύει $OL = OS = SK\ \ \ ,(1)$ λόγω του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle SOK$ .

: Διαφορά λόγων.; f 178_t 69036.PNG (16.65 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

Από $SK\parallel OT\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{SP}{PT} = \frac{SK}{OT} = \frac{OL}{OT}\ \ \ ,(2)$ λόγω της (1)

Από $PL\parallel OQ\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{PT}{TQ} = \frac{TL}{OT}\ \ \ ,(3)$

Από $(2),\ (3)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{SP}{PT} - \frac{PT}{TQ} = \frac{OT}{OT} + \frac{TL}{OT} - \frac{TL}{OT} =1$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας

#5

: Διαφορά λόγων.png (28.03 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Κατασκευή.
Θεωρώ ισοσκελές τρίγωνο $POS\,\left( {PO = PS} \right)$ με γωνία $\boxed{\widehat {{S_{}}} = \widehat \theta }$ .

Έστω,

το συμμετρικό του μέσου

του

ως πρoς την

. Η ευθεία

τέμνει την ευθεία

στο

.

Πάλι έστω

το συμμετρικό του

ως προς

. Οι ευθείες $SP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OZ$ τέμνονται στο

β) Αν

σημείο του ευθυγράμμου τμήματος

με

,αναγκαστικά $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ και έτσι $\boxed{TN//OQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP = TN = NO}$

Αν λοιπόν καθένα από τα προηγούμενα ίσα τμήματα θέσω με

και ακόμα , $TQ = y\,\,,\,\,PN = z$ ζητώ να δείξω:

$\boxed{\frac{{SP}}{{PT}} - \frac{{PT}}{{TQ}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{x + z}}{x} - \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow \frac{z}{x} = \frac{x}{y}}$ που ισχύει αφού TN//QO

.

nickchalkida · #6

Είναι

και

. Επειδή

$\displaystyle{ \begin{aligned} & QT = QP - TP \leftrightarrow {QP \over QT} - {TP \over QT} = 1 \cr \end{aligned} }$

θα πρέπει ισοδύναμα, να αποδείξω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {QP \over QT} = {SP \over PT} \leftrightarrow {QO \over QT} = {OP \over PT} \cr \end{aligned} }$

που είναι αληθής από το θεώρημα των διχοτόμων.

#7

nickchalkida έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2021 11:52 am
Είναι και . Επειδή

$\displaystyle{ \begin{aligned} & QT = QP - TP \leftrightarrow {QP \over QT} - {TP \over QT} = 1 \cr \end{aligned} }$

θα πρέπει ισοδύναμα, να αποδείξω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {QP \over QT} = {SP \over PT} \leftrightarrow {QO \over QT} = {OP \over PT} \cr \end{aligned} }$

που είναι αληθής από το θεώρημα των διχοτόμων.

Καλό!

Κώστας Βήττας.

Διαφορά λόγων

Διαφορά λόγων

Re: Διαφορά λόγων

Re: Διαφορά λόγων

Re: Διαφορά λόγων

Re: Διαφορά λόγων

Re: Διαφορά λόγων

Re: Διαφορά λόγων

Μέλη σε σύνδεση