Γωνία Brocard

#1

: Γωνία Brocard.png (8.4 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

Έστω $\omega$ η γωνία $\displaystyle {\rm{Brocard}}$ ενός τριγώνου ABC

με $\sqrt {\cot A} = \sqrt {\cot B} + \sqrt {\cot C}.$

α) Να αποδείξετε ότι $\cot \omega = 2.$

β) Να κατασκευάσετε (με κανόνα και διαβήτη) ένα τρίγωνο με αυτές τις προδιαγραφές.

Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο ελλείψει φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors).

#2

Είναι γνωστό ότι $cot\omega =cotA+cotB+cotC$ , οπότε αρκεί να δείξω cotA+cotB+cotC=2

Για ευκολία θέτω a=cotA, b=cotB, c=cotC

. H υπόθεση, με ύψωση στο τετράγωνο, δίνει $a=b+c+2\sqrt{bc}$ ή

$a+b+c= 2(a-\sqrt{bc})\,\,\,\,(1)$

Αλλά είναι γνωστό ότι ab+bc+ca=1

, οπότε

. Aπαλείφουμε το b+c

από την σχέση αυτή και την $a=b+c+2\sqrt{bc}$ και προκύπτει:

$bc-2a\sqrt{bc}+a^2-1=0$

Άρα $\sqrt{bc}=a\pm 1$ , οπότε η (1) δίνει $a+b+c=\pm 2$ και απορρίπτεται το

, αφού τα

είναι σε υπόρριζα.

#3

Να ευχαριστήσω τον Κώστα για τη λύση του στο α) ερώτημα

Επειδή όμως ο Κώστας διακρίνεται από ένα

μινιμαλισμό στις απαντήσεις του (

) προτείνω να αποδείξουμε τον τύπο εκκίνησης για όσους δεν τον γνωρίζουν.

Να δείξετε λοιπόν ότι: $\boxed{\cot \omega = \cot A + \cot B + \cot C}$

Ένα 48ωρο μόνο για μαθητές. (εκκρεμεί και η κατασκευή).

Γωνία Brocard

Γωνία Brocard

Re: Γωνία Brocard

Re: Γωνία Brocard

Μέλη σε σύνδεση