Άσκηση

#1

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x^2+1)^x, x\in \Bbb{R}.$
α) Να δείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

γ) Να λύσετε την ανίσωση $f(x)>f\left(\frac{1}{x}\right).$
δ) Να λύσετε την εξίσωση $f(2x^2-6x+2)=\frac{1}{f(x)}.$
ε) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=x+1

στο διάστημα $[0,+\infty).$
**ε') Να λύσετε την εξίσωση f(x)=x+1

στο $\Bbb{R}.$

Μια δική μου κατασκευή!

throwaway123 · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 11:10 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x^2+1)^x, x\in \Bbb{R}.$
α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
γ) Να λύσετε την ανίσωση $f(x)>f\left(\frac{1}{x}\right).$
δ) Να λύσετε την εξίσωση $f(2x^2-6x+2)=\frac{1}{f(x)}.$
ε) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα $[0,+\infty).$
**ε') Να λύσετε την εξίσωση στο $\Bbb{R}.$

Μια δική μου κατασκευή!

Λίγη βοήθεια για το ε) ;

M.S.Vovos · #3

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 1:59 pm
Λίγη βοήθεια για το ε) ;

Δείξε μας τι έχεις κάνει. Μια υπόδειξη, για μία λύση, εμπλέκει τρία Rolle και άτοπο. Βρες δηλαδή ποιες είναι με το μάτι οι ρίζες και απέρριψε να έχει άλλη η εξίσωση.

throwaway123 · #4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 2:51 pm

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 1:59 pm
Λίγη βοήθεια για το ε) ;
Δείξε μας τι έχεις κάνει. Μια υπόδειξη, για μία λύση, εμπλέκει τρία Rolle και άτοπο. Βρες δηλαδή ποιες είναι με το μάτι οι ρίζες και απέρριψε να έχει άλλη η εξίσωση.

Αυτό που κατάλαβα είναι ότι πρέπει να δείξω ότι η (x^2 +1)^x -x -1

είναι φθίνουσα και μετά αύξουσα άρα το πολύ 2 ρίζες οι 0,1 αλλά γίνεται χαμός με τις παραγώγους, το rolle το ξέρω πολύ επιφανειακά οπότε δε κατάλαβα πως με βοηθάει στο άτοπο. Αφήστε το όταν προχωρήσω λίγο θα το ξαναδώ τα υπόλοιπα όλα καλά

#5

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 4:00 pm

Αυτό που κατάλαβα είναι ότι πρέπει να δείξω ότι η είναι φθίνουσα και μετά αύξουσα άρα το πολύ 2 ρίζες οι 0,1 αλλά γίνεται χαμός με τις παραγώγους, το rolle το ξέρω πολύ επιφανειακά οπότε δε κατάλαβα πως με βοηθάει στο άτοπο. Αφήστε το όταν προχωρήσω λίγο θα το ξαναδώ τα υπόλοιπα όλα καλά

Όχι, δεν είναι καλή ιδέα οι παράγωγοι. Θα δώσω με απόκρυψη μία υπόδειξη χωρίς να χαλάω την άσκηση.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

throwaway123 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 4:14 pm

4ptil έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 4:00 pm

Αυτό που κατάλαβα είναι ότι πρέπει να δείξω ότι η είναι φθίνουσα και μετά αύξουσα άρα το πολύ 2 ρίζες οι 0,1 αλλά γίνεται χαμός με τις παραγώγους, το rolle το ξέρω πολύ επιφανειακά οπότε δε κατάλαβα πως με βοηθάει στο άτοπο. Αφήστε το όταν προχωρήσω λίγο θα το ξαναδώ τα υπόλοιπα όλα καλά
Όχι, δεν είναι καλή ιδέα οι παράγωγοι. Θα δώσω με απόκρυψη μία υπόδειξη χωρίς να χαλάω την άσκηση.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
α) Βρες δύο προφανείς ρίζες.

β) Δείξε ότι στο μεσοδιάστημα των δύο ριζών η μία συνάρτηση είναι προφανώς μεγαλύτερη από την άλλη (θα το δεις με το μάτι, χωρίς να παραγώγους), ενώ έξω από το διάστημα είναι προφανώς μικρότερη.

Done!

#7

Λυση για το ε χωρίς παραγωγους
η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{xln(1+x^2)=ln(x+1)}$
εστω $\displaystyle{x>1}$ τοτε $\displaystyle{x^2>x\Rightarrow ln(1+x^2)>ln(x+1)}$ αρα $\displaystyle{xln(1+x^2)>ln(x+1)}$
αρα
δεν εχει λυση στο $\displaystyle{(1,+\infty)}$
$\displaystyle{x=1}$ επαληθεύει
$\displaystyle{0<x<1}$ τοτ $\displaystyle{x^2<x\Rightarrow ln(1+x^2)<ln(x+1)}$ αρα $\displaystyle{xln(1+x^2)<ln(x+1)}$
αρα
δεν εχει λυση στο $\displaystyle{(0,1)}$
$\displaystyle{x=0}$ επαληθεύει
Tελος $\displaystyle{-1<x<0}$ τότε $\displaystyle{1<1+x^2\Rightarrow 0<ln(1+x^2),1+(1/x)<0}$ αδυνατη
$\displaystyle{x<-1 }$ τοτε $\displaystyle{x+1<0,(1+x^2)^{x}>0}}$ αδυνατη
Τοτε μοναδικες λύσεις 0,1

#8

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 6:46 pm
Λυση για το ε χωρίς παραγωγους
η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{xln(1+x^2)=ln(x+1)}$
εστω $\displaystyle{x>1}$ τοτε $\displaystyle{x^2>x\Rightarrow ln(1+x^2)>ln(x+1)}$ αρα $\displaystyle{xln(1+x^2)>ln(x+1)}$
αρα
δεν εχει λυση στο $\displaystyle{(1,+\infty)}$
$\displaystyle{x=1}$ επαληθεύει
$\displaystyle{0<x<1}$ τοτ $\displaystyle{x^2<x\Rightarrow ln(1+x^2)<ln(x+1)}$ αρα $\displaystyle{xln(1+x^2)<ln(x+1)}$
αρα
δεν εχει λυση στο $\displaystyle{(0,1)}$
$\displaystyle{x=0}$ επαληθεύει

Ωραία! Ουσιαστικά έχουμε ότι η $g(x)=x\ln(x+1)$ είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,+\infty)$ και g(x^2)=g(x)...

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 6:46 pm
Tελος $\displaystyle{-1<x<0}$ τότε $\displaystyle{1<1+x^2<2\Rightarrow 0<ln(1+x^2)<ln2\Rightarrow 0<-xln(1+x^2)<ln2\Rightarrow -=ln2<-xln(1+x^2)<0}$ αλλα $\displaystyle{1+x>0}$ αδυνατη
$\displaystyle{x<-1 }$ τοτε $\displaystyle{χ+1<0,(1+χ^2)^χ>0}$ αδυνατη
Τότε μοναδικές λύσεις 0,1

Εδώ δεν έχουμε άτοπο ( $\ln (x+1)<0$ )!

#9

έκανα μια διορθωση στην $\displaystyle{-1<x<0}$ στο προηγούμενο post

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 4:14 pm

Όχι, δεν είναι καλή ιδέα οι παράγωγοι. Θα δώσω με απόκρυψη μία υπόδειξη χωρίς να χαλάω την άσκηση.
.

α) Βρες δύο προφανείς ρίζες.

β) Δείξε ότι στο μεσοδιάστημα των δύο ριζών η μία συνάρτηση είναι προφανώς μεγαλύτερη από την άλλη (θα το δεις με το μάτι, χωρίς να παραγώγους), ενώ έξω από το διάστημα είναι προφανώς μικρότερη.

Το ε) χωρίς παραγώγους, όπως το εννοούσα στο παραπάνω. Ουσιστικά είναι το ίδιο με του Ροδόλφου στο ποστ #

αλλά χωρίς λογαρίθμους.

Προφανείς ρίζες οι x=0

και

. Τώρα,

-για x>1

έχουμε

, άρα ποτέ ίσα. Όμοια

-για 0<x<1

έχουμε

, άρα ποτέ ίσα.

Άσκηση

Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Re: Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση