Όριο μιγαδικής συνάρτησης

#1

Για όλους τους θετικούς a,b,c

να βρεθεί, όπου υπάρχει, το

$\displaystyle\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}\,.$

stranger · #2

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 7:26 am
Για όλους τους θετικούς να βρεθεί, όπου υπάρχει, το

$\displaystyle\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}\,.$

Αν

τότε το όριο κάνει

.
Χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε $a \leq b$ .
Αν z=x+iy

τότε έχουμε $\frac{\sin(a Re^2(z) +b Im^2(z))}{z |z|^c}$ $= \frac{\sin(ax^2+by^2)}{(x+iy)(x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}}=\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2} \frac{ax^2+by^2}{(x+iy) (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}}$ .
Όμως $\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2} \rightarrow 1$ καθώς $z \rightarrow 0$ , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι $F(z)= \frac{ax^2+by^2}{(x+iy) (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}} \rightarrow 0$ καθώς $z \rightarrow 0$ .
Έχουμε $|F(z)| = \frac{ax^2+by^2}{\sqrt{x^2+y^2} (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}} = \frac{ax^2+by^2}{(x^2+y^2)^{\frac{1+c}{2}}}$ $\leq \frac{b(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\frac{1+c}{2}}} = b (x^2+y^2)^{\frac{1-c}{2}}} \rightarrow 0$ καθώς $z \rightarrow 0$ αφού c<1

και το συμπέρασμα έπεται.

stranger · #3

stranger έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 15, 2020 7:13 pm

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 7:26 am
Για όλους τους θετικούς να βρεθεί, όπου υπάρχει, το

$\displaystyle\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}\,.$
Αν τότε το όριο κάνει .
Χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε $a \leq b$ .
Αν τότε έχουμε $\frac{\sin(a Re^2(z) +b Im^2(z))}{z |z|^c}$ $= \frac{\sin(ax^2+by^2)}{(x+iy)(x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}}=\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2} \frac{ax^2+by^2}{(x+iy) (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}}$ .
Όμως $\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2} \rightarrow 1$ καθώς $z \rightarrow 0$ , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι $F(z)= \frac{ax^2+by^2}{(x+iy) (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}} \rightarrow 0$ καθώς $z \rightarrow 0$ .
Έχουμε $|F(z)| = \frac{ax^2+by^2}{\sqrt{x^2+y^2} (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}} = \frac{ax^2+by^2}{(x^2+y^2)^{\frac{1+c}{2}}}$ $\leq \frac{b(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\frac{1+c}{2}}} = b (x^2+y^2)^{\frac{1-c}{2}}} \rightarrow 0$ καθώς $z \rightarrow 0$ αφού και το συμπέρασμα έπεται.

Επίσης όταν c>1

το όριο κάνει $\infty$ .
Αν πάρουμε F(z)

όπως στη προηγούμενη απόδειξή μου τότε $|F(z)| = \frac{ax^2+by^2}{\sqrt{x^2+y^2} (x^2+y^2)^{\frac{c}{2}}} \geq a (x^2+y^2)^{\frac{1-c}{2}}} \rightarrow +\infty$ , καθώς $z \rightarrow 0$ αφού c>1

. Οπότε $F(z) \rightarrow \infty$ καθώς $z \rightarrow 0$ .

stranger · #4

Ολοκληρώνοντας την απόδειξη, έχουμε ότι αν c=1

τότε το όριο δεν υπάρχει.
Υποθέτουμε ότι $a \neq b$ και ότι το όριο υπάρχει.
Αν πάρουμε την F(z)

όπως παραπάνω έχουμε για c=1

, $|F(z)|= \frac{ax^2+by^2}{x^2+y^2}$ .
Αν x=y

παίρνουμε $|F(z)|= \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ και για y=0

παίρνουμε

.
Οπότε αφού το όριο της F(z)

υπάρχει έπεται ότι το όριο της |F(z)|

υπάρχει, άρα $\frac{a+b}{2} = a$ , οπότε a=b

το οποίο είναι άτοπο από υπόθεση.
Άρα αν $a \neq b$ τότε το όριο δεν υπάρχει.
Τώρα αν a=b

, παίρνουμε $F(z)= \frac{a(x^2+y^2)}{(x+iy)(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}$ , οπότε αν θέσουμε y=0

, εύκολα βλέπουμε ότι το όριο δεν υπάρχει και το συμπέρασμα έπεται.

#5

Μετά την όμορφη λύση του Κωνσταντίνου δίνεται ακόμα μια (στο ίδιο "μήκος κύματος"):

Μεταγράφουμε την συνάρτηση ως

$\begin{aligned} \frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}&=\frac{\ovln{z}}{|z|^c}\,\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{|z|^2}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{|z|\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}}{|z|^c}\,\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{|z|^2}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=|z|^{1-c}\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}\,\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{|z|^2},\quad a,b,c>0\,. \end{aligned}$
Αποδεικνύεται* ότι υπάρχει περιοχή $D(0,\delta)$ τέτοια ώστε, για κάθε $z\in D(0,\delta)$ , να ισχύει

$\min\{a,b\}\leqslant\dfrac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{|z|^2}\leqslant\max\{a,b\}\quad(1)$

Θα εξετάσουμε το $\lim_{z\to 0}|z|^{1-c}\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}$ για τις διάφορες τιμές του θετικού

.

Για :
$\begin{aligned} \lim_{z\to 0}\big||z|^{1-c}\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}\big|&=\lim_{z\to 0}|z|^{1-c}\,\cancelto{1}{|{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}|}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\lim_{z\to 0}|z|^{1-c}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=0\hspace{3.0cm}\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \lim_{z\to 0}|z|^{1-c}\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}&=0\,. \end{aligned}$
Για : το $\lim_{z\to 0}|z|^{1-c}\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}=\lim_{z\to 0}{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}$ δεν υπάρχει.
Για : $(\forall\,r>0)\big(\exists\,\delta=r^{-\frac{1}{c-1}}>0\big)(\forall\,z\in{\mathbb{C}})$

$\begin{aligned} |z|<\delta\quad&\Rightarrow\quad|z|^{c-1}<\delta^{c-1}=\frac{1}{r}\\\noalign{\vspace{0.2cm}}&\Rightarrow\quad|z|^{1-c}>r\,. \end{aligned}$

Άρα $\lim_{z\to 0}z|^{1-c}\,{\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}=\infty$ .

Από την

και τα παραπάνω συμπεράσματα προκύπτει ότι

Για : $\lim_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}=0$ .
Για : το $\lim_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}$ δεν υπάρχει.**
Για : $\lim_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}=\infty$ .

(*) Δεν έχω πλήρη απόδειξη.
(**) Αυτό εξασφαλίζεται από ότι ο ${\rm{e}}^{-{\rm{i}} {\rm{Arg}}{z}}$ είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός με μέτρο

.

#6

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 7:26 am
Για όλους τους θετικούς να βρεθεί, όπου υπάρχει, το

$\displaystyle\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}\,.$

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αρκετά στάνταρ και απλή. Δεν χρειάζονται τόσο πολλά βήματα για την επίλυσή της (και, ας προσθέσω, ότι η λύση του Κωσταντίνου της περίπτωσης c=1

είναι εσφαλμένη. EDIT: Σβήνω τα κοκκινισμένα ως εσφαλμένα. Η περίπτωση του Κωνσταντίνου είναι ορθή. Απλά παρακάτω δίνω ευκολότερο τρόπο για μια απλή άσκηση που δεν χρειάζεται τέτοια έκταση για επίλυση.

Χωρίς βλάβη $a\le b$ οπότε λόγω μονοντονίας κοντά στο

είναι $\sin (a|z|^2) \le \sin (a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big) \le \sin (b|z|^2)$ .

Άρα το |F(z)|

είναι μεταξύ των $\displaystyle{ \dfrac {1}{|z|^{c-1}}\cdot \dfrac {|\sin (a|z|^2)| }{|z|^2}}$ και $\displaystyle{ \dfrac {1}{|z|^{c-1}}\cdot \dfrac {|\sin (b|z|^2)| }{|z|^2}}$ .

Τώρα, δεδομένου ότι $(\sin t)/t\to 1$ , η συμπεριφορά της |F(z)|

είναι ανάλογη της $\displaystyle{ \dfrac {1}{|z|^{c-1}}}$ . Ειδικά για c>1

είναι $\displaystyle{|F(z)|\to 0$ και για c<1

είναι $|F(z)|\to \infty$ . Tέλος, για c=1

παίρνοντας όριο της

κατά μήκος της y=0

είναι

$\displaystyle{F(z) = \dfrac {\sin (ax^2)}{x^2}\to a}$ ενώ παίρνοντας όριο της

κατά μήκος της x=0

είναι $\displaystyle{F(z) = \dfrac {\sin (by^2)}{iy^2}\to -ib\ne a}$ , άρα δεν υπάρχει.

stranger · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 4:34 pm
Δεν χρειάζονται τόσο πολλά βήματα για την επίλυσή της και, ας προσθέσω, ότι η αρχική λύση της περίπτωσης είναι εσφαλμένη.

Γιατί είναι εσφαλμένη;

#8

stranger έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 4:39 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 4:34 pm
Δεν χρειάζονται τόσο πολλά βήματα για την επίλυσή της και, ας προσθέσω, ότι η αρχική λύση της περίπτωσης είναι εσφαλμένη.
Γιατί είναι εσφαλμένη;

Γιατί εξετάζει το όριο της $\dfrac{ax^2+by^2}{x^2+y^2}$ και όχι της $\dfrac{\sin (ax^2+by^2)}{x^2+y^2}$ .

EDIT: Το αποσύρω. Παρανόησα τα λεγόμενα του Κωνσταντίνου και ζητώ συγγνώμη.

stranger · #9

Όχι δεν είναι εσφαλμένη, αφού το όριο $\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2}$ κάνει

.

#10

stranger έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 4:46 pm
Όχι δεν είναι εσφαλμένη, αφού το όριο $\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2}$ κάνει .

Δεν παύει εδώ

stranger έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 2:12 pm

Αν πάρουμε την όπως παραπάνω έχουμε για , $|F(z)|= \frac{ax^2+by^2}{x^2+y^2}$ . (*)

στο σημείο (*) να έχουμε μη αληθή ισότητα ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΕΔΟΜΕΝΗ

(όπως άλλωστε δηλώνει με σαφήνεια η φράση "όπως παραπάνω")

stranger · #11

Τι είναι μη αληθές; Δεν καταλαβαίνω.
Έχουμε $F(z)= \frac{ax^2+by^2}{(x+iy)(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}$ , οπότε παίρνουμε την απόλυτη τιμή της F(z)

και έχουμε $|F(z)|= \frac{ax^2+by^2}{x^2+y^2}$ , για c=1

.

#12

stranger έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 5:19 pm
Τι είναι μη αληθές; Δεν καταλαβαίνω.
Έχουμε $F(z)= \frac{ax^2+by^2}{(x+iy)(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}$ , οπότε παίρνουμε την απόλυτη τιμή της και έχουμε $|F(z)|= \frac{ax^2+by^2}{x^2+y^2}$ , για .

Κάνω μία τελευταία προσπάθεια: H

της εκφώνησης ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΗ αλλά η $F(z)= \dfrac{\sin (ax^2+by^2)}{(x+iy)(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}}$ . Ιδού

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 7:26 am
Για όλους τους θετικούς να βρεθεί, όπου υπάρχει, το

$\displaystyle\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin\big(a(\Re({z}))^2+b(\Im({z}))^2\big)}{z\,|z|^c}\,.$

Αυτή που πήρες είναι μια ΑΛΛΗ, βοηθητική, συνάρτηση παρ' όλο που δήλωσες

stranger έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 2:12 pm

Αν πάρουμε την όπως παραπάνω έχουμε

Πάντως εφάρμοσες τον συλλογισμό όχι για την

που πήρες αλλά για την βοηθητική, στο βήμα $|F(z)|= \frac{ax^2+by^2}{x^2+y^2}$ , για c=1

. Επαναλαμβάνω, αυτό ισχύει για την βοηθητική.

Δεν θα επανέλθω γιατί η άσκηση είναι αρκετά προσιτή και δεν αξίζει τόση συζήτηση. Πρόκειται για ωραία άσκηση και καλό είναι να βλέπουν οι φοιτητές μας παραλλαγές χρήσιμων και δοκιμασμένων τεχνικών, αλλά μέχρι εκεί.

EDIT AΡΓΟΤΕΡΑ: Το αποσύρω. Παρανόησα τα λεγόμενα του Κωνσταντίνου και ζητώ συγγνώμη.

stranger · #13

Κύριε Λάμπρου δεν υπάρχει πουθενά κανένα λάθος και δεν καταλαβαίνω γιατί επειμένετε τόσο πολύ.
Η

που πήρα δεν είναι της εκφώνησης. Διαβάστε το post μου προσεκτικά και θα δείτε ότι η

που πήρα έχει το ίδιο όριο με την συνάρτηση της εκφώνησης αφού όπως έγραψα $\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2} \rightarrow 1$ .
Έχουμε ότι το όριο της

υπάρχει αν και μόνο αν το όριο της αρχικής υπάρχει.

#14

stranger έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 16, 2020 6:00 pm
Κύριε Λάμπρου δεν υπάρχει πουθενά κανένα λάθος και δεν καταλαβαίνω γιατί επειμένετε τόσο πολύ.
Η που πήρα δεν είναι της εκφώνησης. Διαβάστε το post μου προσεκτικά και θα δείτε ότι η που πήρα έχει το ίδιο όριο με την συνάρτηση της εκφώνησης αφού όπως έγραψα $\frac{\sin(ax^2+by^2)}{ax^2+by^2} \rightarrow 1$ .
Έχουμε ότι το όριο της υπάρχει αν και μόνο αν το όριο της αρχικής υπάρχει.

Τελικά έχεις δίκιο. 'Οταν έγραφες την φράση "

όπως παραπάνω" το εξέλαβα ως "όπως στην εκφώνηση" και όχι όπως σε προηγούμενό σου ποστ.

Δικό μου το λάθος. Ζητώ συγγνώμη.

Θα κάνω διόρθωση στα παραπάνω λεγόμενά μου.

Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Re: Όριο μιγαδικής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση