Ανισότητα

TrItOs · #1

Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό $\displaystyle{n \in \mathbb{N}}$ και τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in ( 1, n ]}$ τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}$

Κάνοντας μια διόρθωση. Ισχύει αυτή η ανισότητα τώρα με τις συνθήκες που έχουν δοθεί, και αν ναι πως αποδεικνύεται;

#2

Διαγραφή δημοσίευσης -- δεν έλαβα υπ' όψιν το δεξιό άκρο του διαστήματος [1,n]

KARKAR · #3

$\dfrac{1+1+27}{3}=9,6666$ ... αλλά $(\sqrt[3]{1\cdot1\cdot27})^2=9$

TrItOs · #4

$\dfrac{1+1+27}{3}=9,6666$ ... αλλά $(\sqrt[3]{1\cdot1\cdot27})^2=9$

Σχολιάζουμε ότι υπάρχουν λάθος διότι δεν ικανοποιείται η υπόθεση $\displaystyle{1 \in [1,3] , 1 \in [1, 3] , 27 \notin [1, 3]}$ .

Σημειώνω ότι ισχύει η επιπλέον συνθήκη $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in [ 1, n ]}$ , δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}}$ ανήκουν στο κλειστό διάστημα $\displaystyle{[1, n]}$ .

TrItOs · #5

Έχω σημειώσει ότι οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}}$ ανήκουν στο διάστημα $\displaystyle{(1, n]}$ .

Manolis Petrakis · #6

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό $\displaystyle{n \in \mathbb{N}}$ και τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in [ 1, n ]}$ τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}$

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι.
Αντιπαράδειγμα για n=6:

Αν $a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=1,a_{6}=6$ τότε από την ανισότητα παίρνουμε
$\dfrac{11}{6}\leq \sqrt[3]{6}$
$\Leftrightarrow 11^3<6^4\Leftrightarrow 1331<1296$ το οποίο δεν ισχύει

TrItOs · #7

Ναι όντως το έλεγξα και πράγματι έχεις δίκιο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 6:06 pm
Έχετε κάνει λάθος διότι το δεύτερο μέλος της ανισότητας που θέλουμε να αποδείξουμε είναι υψωμένο στο τετράγωνο, οπότε
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}$

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι. $\leftarrow$ έχετε ξεχάσει να υψώσετε στο τετράγωνο το δεύτερο μέλος

Δηλαδή θα έπρεπε να κάνατε:
Αν $a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=1,a_{6}=6$ τότε από την ανισότητα παίρνουμε
$\dfrac{11}{6}\leq \Big( \sqrt[3]{6} \Big)^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{11}{6} < 3 < \Big( \sqrt[3]{6} \Big)^{2}$ το οποίο προφανώς ισχύει. Δηλαδή για το συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει ότι
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{n} < \Big(\sqrt[6]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} \cdot a_{5} \cdot a_{6}}} \Big)^{2}}$

Για ξανά κοίταξε το.Εσύ έχεις κάνει λάθος.

#9

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό $\displaystyle{n \in \mathbb{N}}$ και τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in [ 1, n ]}$ τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}$

Δεν έχει ελπίδα να ισχύει, αλλά για αντιπαράδειγμα βολεύει να κοιτάξεις μεγάλα

. Για παράδειγμα αν

$a_1=a_2=...=a_{n-2}=1,\, a_{n-1}= a_n=n$ το μεν αριστερό μέλος είναι

$\dfrac {1+...+1+n+n}{n} = \dfrac {3n-2}{n} \to 3$ ενώ το δεξί

$\Big(\sqrt[n]{1\cdot 1 \cdot ... \cdot 1 \cdot n \cdot n}} \Big)^{2}} = n^ {4/n} \to 1$

Για παράδειγα η περίπτωση n=20

σύμφωνα με το κομπιουτεράκι μου δίνει

Αριστερό = 2,95

και δεξί $\approx 1,820564203$ .

Ελπίζω να μην χάνω κάτι γατί τώρα συνέρχομαι από την επίσκεψή μου (βιοψία) στο Νοσοκομείο.

TrItOs · #10

Για ξανά κοίταξε το.Εσύ έχεις κάνει λάθος. $\leftarrow$ Πράγματι έχετε δίκιο.

#11

Tώρα που το ξαναβλέπω, ακόμα πιο εύκολο αντιπαράδειγμα

$a_1=a_2=...=a_{n-1}=1,\, a_n=n$ το μεν αριστερό μέλος είναι

$\dfrac {1+...+1+1+n}{n} = \dfrac {2n-1}{n} \to 2$ ενώ το δεξί

$\Big(\sqrt[n]{1\cdot 1 \cdot ... \cdot 1 \cdot n}} \Big)^{2}} = n^ {2/n} \to 1$

Οι αντίστοιχες τιμές για n=20

σύμφωνα με το κομπιουτεράκι μου είναι

Αριστερό = 1,9

και δεξί $\approx 1,349282848$

Αν στο δεξί μέλος της υποψήφιας ανισότητας βάλεις 1000

στην θέση του

, πάλι χάνει για τους ίδιους λόγους που ανέφερα.

#12

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό $\displaystyle{n \in \mathbb{N}}$ και τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in ( 1, n ]}$ τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}$

Κάνοντας μια διόρθωση. Ισχύει αυτή η ανισότητα τώρα με τις συνθήκες που έχουν δοθεί, και αν ναι πως αποδεικνύεται;

Και έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει;

Έχουμε εμμονή και επαναφορά της εσφαλμένης ανισότητας εδώ (βλέπε ιδίως από το ποστ #13 και κάτω). Τα είπαμε 1000

φορές εκεί, αλλά δεν φαίνεται να εμπεδώθημε.

Θα ήθελα να ήξερα αν είναι συμπτωματική η εμμονή, ή μήπως ο TrItOs του εδώ ποστ και o jimgabal του εκεί, έχουν κάποια συνάφεια.

#13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 11:25 pm

TrItOs έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 1:30 pm
Θεωρούμε τον φυσικό αριθμό $\displaystyle{n \in \mathbb{N}}$ και τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n} \in ( 1, n ]}$ τότε να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leqslant \Big(\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}} \Big)^{2}}$

Κάνοντας μια διόρθωση. Ισχύει αυτή η ανισότητα τώρα με τις συνθήκες που έχουν δοθεί, και αν ναι πως αποδεικνύεται;
Και έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει;

Έχουμε εμμονή και επαναφορά της εσφαλμένης ανισότητας εδώ (βλέπε ιδίως από το ποστ #13 και κάτω). Τα είπαμε φορές εκεί, αλλά δεν φαίνεται να εμπεδώθημε.

Θα ήθελα να ήξερα αν είναι συμπτωματική η εμμονή, ή μήπως ο TrItOs του εδώ ποστ και o jimgabal του εκεί, έχουν κάποια συνάφεια.

... roommates???

[Συγγνώμην για τον Αμερικανισμό, υποθέτω ότι η μονολεκτική απόδοση στα Ελληνικά θα ήταν "ομοκάμαροι"

(Εγώ θυμήθηκα την προ εβδομάδων συζήτηση αμέσως, τόσο άμεσα ... που την πάτησα -- δεν είδα δηλαδή τον περιορισμό $a_k\leq n$

Ίσως πάντως να προκύψει κάποιο θεωρηματάκι στο τέλος, γιατί όχι; Ας δώσουμε μια τζογαδόρικη ευκαιρία στην εμμονή, let's give persistence a gambler's chance!)]

TrItOs · #14

Θα ήθελα να ήξερα αν είναι συμπτωματική η εμμονή, ή μήπως ο TrItOs του εδώ ποστ και o jimgabal του εκεί, έχουν κάποια συνάφεια.

Όχι απλά ένας φίλος μου έδειξε αυτή την ανισότητα . . .

#15

TrItOs έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 10:50 am
Όχι απλά ένας φίλος μου έδειξε αυτή την ανισότητα . . .

Λήγει λοιπόν το θέμα. Η ανισότητα δεν ισχύει.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση