Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαίρετε!

: Απρόσμενα (;) ισοσκελές !.png (102.04 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο,

είναι το μέσο του τόξου

(όπου δεν ανήκει το

)

και

το έγκεντρο του $\triangle ABC$ . Αν $E \in AC$ ώστε $IE \parallel BC$ και ο κύκλος των B,I,M

τέμνει την

και στο

τότε

Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2020 11:39 pm
Χαίρετε!
Απρόσμενα (;) ισοσκελές !.png
Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, είναι το μέσο του τόξου (όπου δεν ανήκει το )

και το έγκεντρο του $\triangle ABC$ . Αν $E \in AC$ ώστε $IE \parallel BC$ και ο κύκλος των τέμνει την και στο τότε

Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα Γιώργο από Βρυξέλλες μεριά (μάλλον στην Ελλάδα είναι καλημέρα

)

Προφανώς $\displaystyle{A,I,M}$ συνευθειακά . $\displaystyle{\angle IPB\mathop = \limits^{B,I,P,M\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle IMB \equiv \angle AMB = \angle ACB \Rightarrow IP\parallel EC\mathop \Rightarrow \limits^{IE\parallel PC} IECP}$ παραλληλόγραμμο και με την διαγώνιό του $\displaystyle{CI}$ να διχοτομεί την γωνία $\displaystyle{\angle ECP \equiv \angle ACB}$ (από το έγγκεντρο) πρόκειται τελικά για ρόμβο και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί .

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2020 11:39 pm
Χαίρετε!
Απρόσμενα (;) ισοσκελές !.png
Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, είναι το μέσο του τόξου (όπου δεν ανήκει το )

και το έγκεντρο του $\triangle ABC$ . Αν $E \in AC$ ώστε $IE \parallel BC$ και ο κύκλος των τέμνει την και στο τότε

Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα!

: Απρόσμενα ισοσκελές.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 896 φορές

Από τα εγγεγραμμένα ABMC, BIPM

και από

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, οπότε το

IECP

είναι παραλληλόγραμμο. Αλλά από γνωστή άσκηση του σχολικού, IE=EC

και το ζητούμενο έπεται.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλησπέρα. Στάθη και Γιώργο σας ευχαριστώ θερμά!

Ο φάκελος του << Αρχιμήδη >> είναι μάλλον βαρύς για το θέμα , στάθηκε όμως αφορμή για επικοινωνία
και με ...Βρυξέλλες μεριά!

Σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω παραλλαγή (επίσης με ύλη της Α' Λυκείου). Φιλικά, Γιωργος.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα. Μια ακόμη προσέγγιση.

: Απρόσμενα ...png (128.47 KiB) Προβλήθηκε 771 φορές

Φέρω την

. Η

τέμνει την

στο

και την

στο

.

Έχουμε $\widehat{EZI}=\widehat{BAI}=\widehat{EAI}$ , δηλ το AZEI

εγγράψιμο και $\widehat{AEI}=\widehat{AZI}=\widehat{C}$ οπότε $EI \parallel BC$ .

Ακόμη $\widehat{IMZ}=\widehat{ABI}=\widehat{IBP}$ , άρα το BIPM

είναι εγγράψιμο. Τότε $\widehat{EPC}=\widehat{BPM}=\widehat{BIM}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=90^o -\widehat{C}/2$

οπότε στο τρίγωνο PEC

είναι και $\widehat{PEC}= 90^o -\widehat{C}/2$ συνεπώς PC=EC

. Φιλικά, Γιώργος.

Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Re: Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Re: Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Re: Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Re: Απρόσμενα (;) ισοσκελές!

Μέλη σε σύνδεση