Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

#1

ΘΕΜΑ 1
Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί της μορφής $\displaystyle{\overline{abccba},}$ όπου

περιττός, διαιρούνται με το 7;

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

και σημείο

στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε $\angle ABP = \angle PCA.$ To σημείο

είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο PBQC

να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι $\angle QAB = \angle CAP.$

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a,b

για τις οποίες τα πολυώνυμα 6x^2-24x-4a

και

έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.

Manolis Petrakis · #2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 1
Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί της μορφής $\displaystyle{\overline{abccba},}$ όπου περιττός, διαιρούνται με το 7;

Είναι: $\overline{abccba}=10^5a+10^4b+10^3c+10^2c+10b+a$
=100001a+10010b+1100c=7(14286a+1430b+157c)+c-a

Άρα το

είναι πολ/σιο του

$\Rightarrow a=c$ ή a-c=7

ή

Έχουμε

περιπτώσεις για το a=c

,

περιπτώσεις για το a-c=7

τις

και

περιπτώσεις για το a-c=-7

τις

(διότι $a\neq 0$ )
Έτσι έχουμε

συνολικά περιπτώσεις για τα a,c

$\Rightarrow 14\cdot 5=70$ (διότι το

μπορεί να πάρει 5 τιμές, αφού είναι περιττός)

SPYRIDON TZORTZIS · #3

Επαναφορά για το 3.

Σ.Τ.

Al.Koutsouridis · #4

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες τα πολυώνυμα και έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.

Σίγουρα είναι σωστή η διατύπωση; Μήπως είναι π.χ. για $b \geq0$ . Βγαίνει περίεργη περιοχή για τα a,b

με

.

#5

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες τα πολυώνυμα και έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες.

Οι ρίζες του 6x^2 - 24x - 4a

είναι οι $\frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}$ . Θέλουμε λοιπόν $0 \leqslant 36+6a \leqslant 36$ . Για να είναι λοιπόν οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου μη αρνητικές πραγματικές πρέπει και αρκεί $a \in [-6,0]$ .

Έστω x_1,x_2,x_3

οι ρίζες του x^3 + ax^2 + bx - 8

. Τότε (από Vieta) x_1 + x_2 + x_3 = -a

και

. Από ανισότητα AM-ΓΜ παίρνουμε $-a \geqslant 3 \sqrt[3]{8} = 6$ , δηλαδή $a \leqslant -6$ .

Επομένως πρέπει a = -6

και οι ρίζες του δεύτερου πολυωνύμου είναι οι x_1 = x_2 = x_3 = 2

. Τότε

.

Al.Koutsouridis · #6

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 27, 2020 10:34 am
Οι ρίζες του είναι οι $\frac{6 \pm \sqrt{36+6a}}{3}$ . Θέλουμε λοιπόν $0 \leqslant 36+6a \leqslant 36$ . Για να είναι λοιπόν οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου μη αρνητικές πραγματικές πρέπει και αρκεί $a \in [-6,0]$ .

Έστω οι ρίζες του . Τότε (από Vieta) και . Από ανισότητα AM-ΓΜ παίρνουμε $-a \geqslant 3 \sqrt[3]{8} = 6$ , δηλαδή $a \leqslant -6$ .

Επομένως πρέπει και οι ρίζες του δεύτερου πολυωνύμου είναι οι . Τότε .

Δημήτρη το παραπάνω ισχύει όταν οι ρίζες είναι τρεις αν δε κάνω λάθος. Εγώ στο σχόλιο μου παραπάνω θεώρησα την γενική περίπτωση, όπου το κυβικό πολυώνυμο μπορεί να έχει και μία μόνο ρίζα.

#7

Α! Τώρα κατάλαβα γιατί έκανες το σχόλιο. Εσύ διάβαζες "Μη αρνητικές" "πραγματικές ρίζες" ενώ εγώ διάβαζα "Μη αρνητικές πραγματικές" ρίζες.

#8

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 2:07 pm
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε $\angle ABP = \angle PCA.$ To σημείο είναι τέτοιο ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι $\angle QAB = \angle CAP.$

Επαναφορά!

KARKAR · #9

Το γεωμετρικό θέμα ως λήμμα στην ανάρτηση αυτή .

Al.Koutsouridis · #10

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 27, 2020 12:50 pm
Α! Τώρα κατάλαβα γιατί έκανες το σχόλιο. Εσύ διάβαζες "Μη αρνητικές" "πραγματικές ρίζες" ενώ εγώ διάβαζα "Μη αρνητικές πραγματικές" ρίζες.

Ναι. Αν και πάλι θεωρώ ότι η διατύπωση είναι προβληματική. Αν κάποιος δώσει ως απάντηση τις τιμές π.χ. a=-2, b=1

, γιατί να είναι λάθος η απάντηση;

Για αυτές τις τιμές και τα δυο πολυώνυμα 6x^2-24x-4a

και

έχουν μη αρνητικές πραγματικές ρίζες. Χάνω κάτι;

Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Re: Τεστ εξάσκησης (1) - ΘΑΛΗΣ 2020

Μέλη σε σύνδεση