Κυνηγώντας την ορθότητα

KARKAR · #1

Οι ασκήσεις του τύπου : "όποιος δεν έχει βάσανα ... " , πυκνώνουν επικίνδυνα :

: Κυνηγώντας την ορθότητα.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 1101 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, είναι :

και

. Το

είναι το μέσο της διαγωνίου

. Η

τέμνει την

στο

και η

την προέκταση της

,

στο

.Υπολογίστε το

, αν : $AC \perp CS$ . Επιτρέπεται - στο τελικό στάδιο - η χρήση λογισμικού .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 8:52 pm
Οι ασκήσεις του τύπου : "όποιος δεν έχει βάσανα ... " , πυκνώνουν επικίνδυνα :Κυνηγώντας την ορθότητα.png

Στο ορθογώνιο τραπέζιο , είναι : και . Το

είναι το μέσο της διαγωνίου . Η τέμνει την στο και η την προέκταση της ,

στο .Υπολογίστε το , αν : $AC \perp CS$ . Επιτρέπεται - στο τελικό στάδιο - η χρήση λογισμικού .

Μήπως είναι η μοναδική πραγματική (λόγω μονοτονίας της αντίστοιχης συνάρτησης) λύση της εξίσωσης : $k^{3}-k^{2}+2k-1=0$ (περίπου 0,57)
Για περισσότερες λεπτομέρειες βάλτε τα λογισμικά να δουλέψουν

Αφήνω το γεωμετρικό μέρος (νομίζω όχι δύσκολο) να το δουν και άλλοι φίλοι

#3

: Κυνηγώντας την ορθότητα_ok.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

$\boxed{k = \frac{{\sqrt[3]{{12\sqrt {69} + 44}} - \sqrt[3]{{12\sqrt {69} - 44}} + 2}}{6} \simeq 0,5698402909}$

Συμφωνώ στο τελικό αποτέλεσμα αλλά θα γράψω τη λύση μου μετά από τη λύση του φίλτατου Στάθη (Δεν νομίζω να έχουμε ίδια λύση )

#4

Στο σχήμα του Στο σχήμα του Νίκου πιο πάνω $\displaystyle{AT}$
$\displaystyle{AT}$ προφανώς (… και διχοτόμος του τριγώνου ) οπότε από θεώρημα διχοτόμου είναι $\displaystyle{\dfrac{{AD}}{{AS}} = \dfrac{{DT}}{{TS}}\mathop \Rightarrow \limits^{DC\parallel BS} \dfrac{a}{{a + BS}} = \dfrac{{DC}}{{BS}} = \dfrac{{ka}}{{BS}}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \ldots BS = \dfrac{{ka}}{{1 - k}} \Rightarrow AS = \dfrac{a}{{1 - K}}}$
Από την ορθή γωνία $\displaystyle{\angle ACS \Rightarrow A{C^2} = DC \cdot AS\mathop \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta } {a^2} + {k^2}{a^2}}$ $\displaystyle{ = ka \cdot \dfrac{a}{{1 - k}} \Rightarrow \ldots {k^3} - {k^2} + 2k - 1 = 0}$

Υ.Σ. Από το σχήμα σου Νίκο υποψιάζομαι ότι έχουμε διαφορετική λύση

#5

Έστω καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το $A\left( {0,0} \right)$ αν

$B\left( {2a,0} \right)\,\,,D\left( {0,2a} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C\left( {k,2a} \right)$ αβίαστα προκύπτουν :

$\left\{ \begin{gathered} T\left( {\frac{{4{a^2}}}{{4a - k}},\frac{{4{a^2}}}{{4a - k}}} \right) \hfill \\ S\left( {\frac{{4{a^2} + {k^2}}}{k},0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι αφού τα σημεία : $D\left( {0,2a} \right)\,\,,T,\,S$ ανήκουν στην ίδια ευθεία:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{y_D}}&1 \\ {{x_T}}&{{y_T}}&1 \\ {{x_S}}&0&1 \end{array}} \right| = 0$ . Προκύπτει η εξίσωση: ${k^3} - 2a{k^2} + 8{a^2}k - 8{a^3} = 0$

με δεκτή ρίζα το μήκος ,

,της μικρής βάσης όπως έθεσα .

Στην απάντησή μου πιο πάνω είναι αυτό που ζητάει ο Θανάσης δηλαδή το πηλίκο της μικρής προς τη μεγάλη βάση.

#6

Και η Ευκλείδεια λύση .

Έστω λυμένο το πρόβλημα και ας είναι $E,\,F$ οι προβολές των T,C

στις $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ .

Από το τραπέζιο ABCD

έχω: $\dfrac{{AB - ET}}{{ET - DC}} = \dfrac{{AE}}{{ED}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Προφανές ότι EA = ET = x

κι έχω : $\dfrac{{a - x}}{{x - ka}} = \dfrac{x}{{a - x}} \Rightarrow \boxed{x = \frac{a}{{2 - k}}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Αλλά ET//AS

κι έτσι : $\dfrac{{ED}}{{EA}} = \dfrac{{DT}}{{TS}} = \dfrac{{DC}}{{BS}}$ κι αν θέσω BS = u

η προηγούμενη δίδει :

$\dfrac{{a - x}}{x} = \dfrac{{ka}}{u}$ που λόγω της $\left( 2 \right)$ με διώξιμο του

έχω: $\boxed{u = \frac{{ak}}{{1 - k}}}\,\left( 3 \right)$ .

: Κυνηγώντας την ορθότητα_old.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

Από το ορθογώνιο $\vartriangle CAS$ με ύψος προς την υποτείνουσα , CF = a

έχω:

$C{F^2} = AF \cdot FS \Rightarrow {a^2} = ka\left( {a(1 - k) + u} \right)$ που λόγω της $\left( 3 \right)$ δίδει :

${k^3} - {k^2} + 2k - 1 = 0$ απ’ όπου :

$\boxed{k = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {69} }}{{18}} + \frac{{11}}{{54}}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {69} }}{{18}} - \frac{{11}}{{54}}}} + \frac{1}{3} \simeq 0,569840290997}$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 24, 2020 8:52 pm
Οι ασκήσεις του τύπου : "όποιος δεν έχει βάσανα ... " , πυκνώνουν επικίνδυνα :Κυνηγώντας την ορθότητα.png

Στο ορθογώνιο τραπέζιο , είναι : και . Το

είναι το μέσο της διαγωνίου . Η τέμνει την στο και η την προέκταση της ,

στο .Υπολογίστε το , αν : $AC \perp CS$ . Επιτρέπεται - στο τελικό στάδιο - η χρήση λογισμικού .

Έστω

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των AM, DC.

: Κυνήγι ορθότητας.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

$\displaystyle DCE||ABS \Leftrightarrow \frac{{DC}}{{CE}} = \frac{{BS}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{ka}}{{a(1 - k)}} = \frac{{BS}}{a} \Leftrightarrow BS = \frac{{ka}}{{1 - k}} \Rightarrow$ $\boxed{HS = \frac{{({k^2} - k + 1)a}}{{1 - k}}}$ (1)

$\displaystyle C{H^2} = AH \cdot HS \Leftrightarrow {a^2} = ka(HS) \Leftrightarrow HS = \frac{a}{k}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{{k^3} - {k^2} + 2k - 1 = 0}$

Τα υπόλοιπα είναι δουλειά του λογισμικού. $\boxed{k = \frac{1}{3}\left( {1 + \sqrt[3]{{\frac{{11 + 3\sqrt {69} }}{2}}} - 5\sqrt[3]{{\frac{2}{{11 + 3\sqrt {69} }}}}} \right)}$

Κυνηγώντας την ορθότητα

Κυνηγώντας την ορθότητα

Re: Κυνηγώντας την ορθότητα

Re: Κυνηγώντας την ορθότητα

Re: Κυνηγώντας την ορθότητα

Re: Κυνηγώντας την ορθότητα

Re: Κυνηγώντας την ορθότητα

Re: Κυνηγώντας την ορθότητα

Μέλη σε σύνδεση