J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα J-526 από το τέταρτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2020. Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam. H ημερομηνία υποβολής των λύσεων ήταν η 15 Σεπτεμβρίου 2020 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να μοιραστώ το θέμα μαζί σας χωρίς ενδοιασμούς...

Έστω τρίγωνο ABC

με περίκεντρο

, έγκεντρο

και παράκεντρα $I_{a},I_{b},I_{c}$
Aποδείξτε ότι
$OI^{2}+OI^{2}_{a}+OI^{2}_{b}+OI^{2}_{c}=12R^{2}$

Το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο για κάποιους έμπειρους λύτες του mathematica.
To δημοσιεύω για έναν λόγο : Να δουν κάποιοι μαθητές μερικές γνώσεις που δεν υπάρχουν στα σχολικά βιβλία των τελευταίων δεκαετιών , ούτε και στα αντίστοιχα σχολικά βοηθήματα. Αυτές οι γνώσεις υπάρχουν σε βιβλία ηλικίας άνω των 35 ετών. Νομίζω ότι αξίζει η προσπάθεια...

#2

Χρειαζόμαστε τους τύπους του Euler:
OI^2=R^2-2Rr

,

και τον τύπο r_a+r_b+r_c-r=4R

.
Προσθέτοντας παίρνουμε το ζητούμενο.

Τους τύπους του Euler τους έχουμε δει σε διάφορα μέρη εδώ στο

. Για την

, δεν ξέρω αν την έχουμε δει.
Οπότε την αφήνω προς απόδειξη εδώ.

#3

Να σημειώσω απλώς ότι η η άσκηση υπάρχει στο βιβλίο
Γεωμετρία του Γιάννη Ντάνη στη σελίδα 258, ως 692. θεώρημα.

#4

Ας το δούμε και αυτό τότε.

Από τους γνωστούς τύπους E = sr = (s-a)r_a = (s-b)r_b = (s-c)r_c

όπου

το εμβαδόν και

η ημιπερίμετρος, αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} - \frac{1}{s} = \frac{4R}{E} = \frac{abc}{E^2}$

Χρησιμοποιήσαμε επίσης τον τύπο $E = \frac{abc}{4R}$ . Κάνοντας ομώνυμα στο αριστερό μέλος και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα μένει να δείξουμε ότι

$\displaystyle s(s-b)(s-c) + s(s-c)(s-a) + s(s-a)(s-b) - (s-a)(s-b)(s-c) = abc$

Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος ως πολυώνυμο του

αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle 2s^3 - (a+b+c)s^2 + 0s + abc = abc$

Αυτό είναι άμεσο αφού a+b+c=2s

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

silouan έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 17, 2020 2:59 pm
Για την , δεν ξέρω αν την έχουμε δει.
Οπότε την αφήνω προς απόδειξη εδώ.

H απόδειξη αμέσως παρακάτω
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 78&t=71173

J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J-526 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση