ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

chrispanop2002 · #1

«Δεν μπορεί ταυτόχρονα στο ίδιο διάστημα $[\alpha,\beta]$ να ισχύουν το θεώρημα του Rolle και το θεώρημα του Bolzano»
Αληθής ή Ψευδής;

#2

Νομίζω ότι χρειάζεται αλλαγή στην διατύπωση για να συζητηθεί το θέμα.
Τι σημαίνει "ταυτόχρονα";
Μιλάμε για την ίδια συνάρτηση;
Τι σημαίνει "να ισχύει";

chrispanop2002 · #3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 6:57 pm
Νομίζω ότι χρειάζεται αλλαγή στην διατύπωση για να συζητηθεί το θέμα.
Τι σημαίνει "ταυτόχρονα";
Μιλάμε για την ίδια συνάρτηση;
Τι σημαίνει "να ισχύει";

Αυτός ο ισχυρισμός βρίσκεται στο ΨΕΒ του υπουργείου και τον παρέθεσα επειδή είχα παρόμοιες σκέψεις για την εγκυρότητα του

#4

Ως θεωρήματα, τα Rolle και Bolzano ισχύουν παντού και πάντα.

Αντιλαμβάνομαι ότι αυτός που έθεσε το ερώτημα σκεφτόταν κατά πόσο ισχύουν για την ίδια συνάρτηση οι προϋποθέσεις των δύο θεωρημάτων, αλλά αυτό είναι άλλη ιστορία. Εξαρτάται μάλιστα και από το πώς θα διατυπώσεις το θεώρημα Bolzano.

chrispanop2002 · #5

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 7:15 pm
Ως θεωρήματα, τα Rolle και Bolzano ισχύουν παντού και πάντα.

Αντιλαμβάνομαι ότι αυτός που έθεσε το ερώτημα σκεφτόταν κατά πόσο ισχύουν για την ίδια συνάρτηση οι προϋποθέσεις των δύο θεωρημάτων, αλλά αυτό είναι άλλη ιστορία. Εξαρτάται μάλιστα και από το πώς θα διατυπώσεις το θεώρημα Bolzano.

Η ενδεικτική απάντηση που δίνεται είναι πως δεν γίνεται να ισχύουν ταυτόχρονα επειδή αν ισχύει το θεώρημα Bolzano $f(\alpha)f(\beta)<0$
ενω αν ισχύει το θεώρημα Rolle $f(\alpha)=f(\beta) \Leftrightarrow f^2(\alpha)<0$ αρα άτοπο... Παρόλα αυτα αμφιβάλλω γι αυτό θέλω να ακούσω απόψεις

#6

Η διατύπωση δεν είναι επιτυχής. Όπως επεσήμανε ο Δημήτρης θα έπρεπε να αναφέρεται στις προϋποθέσεις.
Μια επαναδιατύπωση θα μπορούσε να ήταν:
Υπάρχει συνάρτηση η οποία στο διάστημα $\left[ \alpha ,\beta \right]$ πληροί τις υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano και τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

#7

Νίκο, πέραν αυτών έκανα και μια νύξη για τη διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano. Ξέρω ότι για σκοπούς Πανελληνίων το σχολικό βιβλίο είναι το «Ιερό Ευαγγέλιο». Με τις διατυπώσεις του σχολικού, και τη διατύπωση της πρότασης όπως την έχεις γράψει, η απάντηση είναι αρνητική. Έχει ήδη δεχθεί από τον chrispanop2002.

Ας δούμε όμως και την παρακάτω διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano:

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(a)f(b) \leqslant 0$ . Τότε υπάρχει $c \in [a,b]$ τέτοιο ώστε f(c) = 0

.

Υπάρχει κανείς που διαφωνεί ότι αυτή είναι μια ισοδύναμη διατύπωση; Με αυτήν όμως η πρόταση του Νίκου γίνεται αληθής. Παράδειγμα η συνάρτηση που είναι ταυτοτικά ίση με

.

#8

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 8:33 pm
Νίκο, πέραν αυτών έκανα και μια νύξη για τη διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano. Ξέρω ότι για σκοπούς Πανελληνίων το σχολικό βιβλίο είναι το «Ιερό Ευαγγέλιο». Με τις διατυπώσεις του σχολικού, και τη διατύπωση της πρότασης όπως την έχεις γράψει, η απάντηση είναι αρνητική. Έχει ήδη δεχθεί από τον chrispanop2002.

Ας δούμε όμως και την παρακάτω διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano:

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(a)f(b) \leqslant 0$ . Τότε υπάρχει $c \in [a,b]$ τέτοιο ώστε .

Υπάρχει κανείς που διαφωνεί ότι αυτή είναι μια ισοδύναμη διατύπωση; Με αυτήν όμως η πρόταση του Νίκου γίνεται αληθής. Παράδειγμα η συνάρτηση που είναι ταυτοτικά ίση με .

Δημήτρη από μαθηματική άποψη έχεις απόλυτο δίκιο.
Φυσικά δεν διαφωνούμε ως προς το ότι η διατύπωση που έδωσες είναι όχι μόνο ισοδύναμη με το θεώρημα του Bolzano αλλά πιο γενική και επομένως πιο πλούσια.
Στο σχολικό βιβλίο όμως το θεώρημα του Bolzano διατυπώνεται με τις τιμές στα άκρα ετερόσημες.
Ξαναδιατύπωσα τον ισχυρισμό ώστε να ταιριάζει σε αυτό που δίνεται σαν απάντηση.
Δυστυχώς η διατύπωση που αναφέρεις δεν περιλαμβάνεται ούτε στις παρατηρήσεις του βιβλίου που συνοδεύουν το θεώρημα.
'Οταν δίδασκα την ανεφερα πάντα, όπως φυσικά και πολλοί άλλοι συνάδελφοι.
Μάλιστα ένα θέμα στις εξετάσεις του 1989 αντιμετωπίζονταν πιο εύκολα αν κάποιος ήξερε και αυτήτην διατύπωση.
Τυπικά μιλώντας ακόμη και για αυτή την εύκολη επέκταση απαιτείται στις εξετάσεις, αν χρησιμοποιηθεί, κάποια αιτιολόγηση.
Ίσως δεν έπρεπε να είναι έτσι τα πράγματα αλλά είναι.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #9

Κατά τη γνώμη μου δεν είναι δυνατόν να ισχύουν ταυτόχρονα οι προϋποθέσεις και των δύο θεωρημάτων. Αφού για το Rolle ισχύει f(a)=f(b)

θα έχουμε ότι $f(a)f(b)=f(a)^{2}\geq 0$ άρα δεν είναι δυνατόν να ισχύει f(a)f(b)< 0

που προϋποθέτει το θεώρημα Bolzano.

User#0000 · #10

Νομίζω, πως αν δεν κάνω λάθος επειδή δεν γνωρίζω το θ.Rolle.

Η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος bolzano μιλάει για σημεία τα οποία βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x'x και όχι πάνω σε αυτόν συνεπώς είναι αδύνατο να ισχύει f(a)=f(b)

που είναι μια από τις προϋπόθεση για να ισχύει το θεώρημα Ρολ. Συνεπώς κατά την ταπεινή μου γνώμη δεν γίνεται να ισχύουν ταυτόχρονα το θεώρημα Rolle και του Bolzano.

Επιπλέον για την επέκταση του θ.Bolzano ισχύει απλά δεν ξέρω αν το όνομα παραμένει θεώρημα Bolzano ή μήπως της άλλαξα την ταυτότητα άρα τώρα λέγεται θεώρημα X.

Φιλικά

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #11

Εγώ θα έλεγα ότι είναι ψευδής διότι από Rolle έχουμε f(a)=f(b)

. Άρα $f(a)*f(b)=f(a)^{2}\geq 0$

γεγονός που αποκλείει την πιθανότητα να ισχύει και το θεώρημα Bolzano.

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Μέλη σε σύνδεση