Αξιόλογη καθετότητα

#1

: Αξιόλογη καθετότητα.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

είναι το μέσο της πλευράς

τριγώνου

και

το σημείο επαφής της με τον εγγεγραμμένο

κύκλο (I,r).

Αν

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου BIC,

να δείξετε ότι $KE\bot IM.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2020 8:39 am
Αξιόλογη καθετότητα.png
είναι το μέσο της πλευράς τριγώνου και το σημείο επαφής της με τον εγγεγραμμένο

κύκλο Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι $KE\bot IM.$

Καλησπέρα!

: 288.PNG (28.25 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές

Η πολική του $\rm M$ ως προς τον έγκυκλο περνά από το $\rm E$ άρα αρκεί από $\rm {La \,\,\,hire}$ να δείξουμε ότι η πολική του $\rm K$ διέρχεται από το το $\rm M$ .Έτσι αν $\rm S$ η προβολή του $\rm M$ στην $\rm DK$ και η $\rm DK$ τέμνει τον έγκυκλο ξανά στο $\rm R$ αρκεί(γνωστή πρόταση) η τετράδα $\rm (K,S/R,D)$ να είναι αρμονική δηλαδή αρκεί $\rm{\dfrac{KD}{KR}=\dfrac{SD}{SR}}$ το οποίο και θα δείξω:

Είναι $\rm{\Delta BDK}\sim \Delta DIC$ και έτσι $\rm \dfrac{KD}{BD}=\dfrac{DC}{DI}\Leftrightarrow KD=\dfrac{DC\cdot BD}{ID}=\dfrac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{r}$ ( $\rm s,r$ η ημιπερίμετρος και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα.)\
Έτσι έχουμε $\rm \dfrac{KD}{KR}=\dfrac{KD}{KD-2r}=\dfrac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )-2r^2}$ .
Έστω $\rm P$ η προβολή του $\rm M$ στην $\rm BC$ .Είναι $\rm SD=PM=MC\sin\angle C=\dfrac{b}{2}\sin \angle C$
Επίσης $\rm \dfrac{1}{2}ab\sin \angle C=\left ( ABC \right )=sr\Rightarrow \sin C=\dfrac{2sr}{ab}$ και έτσι $\rm SD=\dfrac{b}{2}\cdot \dfrac{2sr}{ab}=\dfrac{sr}{a}$
Έτσι έχουμε $\rm \dfrac{SD}{SR}=\dfrac{SD}{2r-SD}=\dfrac{\dfrac{rs}{a}}{2r-\dfrac{rs}{a}}=\dfrac{s}{2a-s}=\dfrac{a+b+c}{3a-b-c}$
Αρκεί
$\rm \dfrac{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}{\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )-2r^2}=\dfrac{a+b+c}{3a-b-c}\Leftrightarrow \left ( s-b \right )\left ( s-c \right )(3a-b-c-a-b-c)=-4sr^2\Leftrightarrow$
$\rm \Leftrightarrow 4(s-a)(s-b)(s-c)=4sr^2\Leftrightarrow s(s-a)(s-b)(s-c)=s^2r^2\Leftrightarrow \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=sr$ που είναι ο τύπος του Ήρωνα .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2020 8:39 am
Αξιόλογη καθετότητα.png
είναι το μέσο της πλευράς τριγώνου και το σημείο επαφής της με τον εγγεγραμμένο

κύκλο Αν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι $KE\bot IM.$

Μία συντομότερη,

Έστω $\rm S\equiv DE\cap BI$ .Από γνωστό λήμμα είναι $\rm \angle ASB=90^{\circ}$ .Έστω $\rm P$ το μέσο του $\rm AB$ .Είναι $\rm \angle BPS=180^{\circ}-2\dfrac{\angle B}{2}=180^{\circ}-\angle B=\angle MPB$ άρα $\rm P,S,M$ συνευθειακά και $\rm MS\parallel BC$ .Το $\rm S$ ανήκει στην πολική του $\rm C$ ως προς τον έγκυκλο άρα από $\rm La\,\,Hire$ η πολική του $\rm S$ θα είναι η $\rm CK$ .Το $\rm K$ ανήκει στην πολική του $\rm S$ άρα πάλι από $\rm La\,\,Hire$ η πολική του $\rm K$ θα είναι η $\rm SM$ .Το $\rm M$ ανήκει στην πολική του $\rm K$ άρα από $\rm La\,\,Hire$ η πολική του $\rm M$ περνά από το $\rm K$ .Επειδή περνά και από το $\rm E$ είναι η ευθεία $\rm EK$ και το ζητούμενο έπεται.

: 317.PNG (34.65 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Αξιόλογη καθετότητα

Αξιόλογη καθετότητα

Re: Αξιόλογη καθετότητα

Re: Αξιόλογη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση