"Έγκυρες" αποδείξεις αξιοσημείωτων ανισοτήτων;

ThePapaFranku · #1

Καλησπέρα! Είμαι μαθητής της Γ' , δίνω Πανελλήνιες σε λίγους μήνες και προσπαθώ να αυξήσω το ρεπερτόριο μου στις ανισότητες με ολοκληρώματα (καθώς, κατά τη γνώμη μου, είναι το δυσκολότερο κομμάτι της ύλης). Οπότε, ήταν ευχάριστη έκπληξη για μένα η ανακάλυψη των ανισοτήτων Chebyshev, Jensen, Hermite-Hadamard στο 21ο τεύχος του "εικοσιδωδεκάεδρον", καθώς μου φάνονται αρκετά δυναμικές ώστε να είναι χρήσιμες στις Πανελλήνιες. Ωστόσο, ακόμα δεν έχω βρει (με την ομολογουμένως ελάχιστη έρευνά μου) τρόπο να τις αποδείξω που να μην ξεφεύγει από τα όρια της σχολικής ύλης. Αναζητώ τέτοιους τρόπους απόδειξης των προαναφερόμενων ανισοτήτων. Και γενικότερα όμως, με αφορμή αυτό το θέμα, είμαι ανοιχτός σε οποιυδήποτε είδους συμβουλή, είτε για τις ανισότητες στα ολοκληρώματα, είτε για τον ευρύτερο ολοκληρωτικό λογισμό, ή ακόμα και για όλη την εξεταστέα ύλη.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Tolaso J Kos · #2

H Jensen είναι εύκολη και πρέπει να την έχεις πετύχει σε βοηθήματα που χρησιμοποιείς. Σχεδόν όλα την έχουν, απλά δεν την ονοματίζουν.

Jensen έγραψε: Έστω $f:[x_1, x_2] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με γνησίως αύξουσα παράγωγο. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) \leq \frac{f\left ( x_1+x_2 \right )}{2}}$

Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο διάστημα $\left [ x_1 , \frac{x_1+x_2}{2} \right ]$ οπότε υπάρχει ένα $\xi_1$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f'\left ( \xi_1 \right ) = \frac{f\left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) - f(x_1)}{\frac{x_2+x_1}{2} - x_1} = 2 \cdot \frac{f\left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) - f(x_1)}{x_2-x_1} }$

Τώρα , εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο διάστημα $\left [ \frac{x_1+x_2}{2} , x_2 \right ]$ οπότε υπάρχει ένα $\xi_2$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f'\left ( \xi_2 \right ) = \frac{f(x_2) - f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )}{x_2 - \frac{x_1+x_2}{2}} = 2 \cdot \frac{f(x_2) - f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )}{x_2 - x_1}}$

Όμως η

είναι γνήσια αύξουσα συνεπώς:

$\displaystyle{\begin{aligned} f'\left ( \xi_1 \right ) \leq f'\left ( \xi_2 \right ) &\Rightarrow 2 \cdot \frac{f\left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) - f(x_1)}{x_2-x_1} \leq 2 \cdot \frac{f(x_2) - f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )}{x_2 - x_1} \\ &\Rightarrow f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) - f(x_1) \leq f(x_2) - f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) \\ &\Rightarrow 2 f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) \leq f(x_1) + f(x_2) \\ &\Rightarrow f \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \end{aligned}}$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Χρησιμοποιώντας τη παραπάνω ανισότητα μπορούμε να αποδείξουμε την ανισότητα Αριθμητικού - Γεωμετρικού Μέσου στη γενική της μορφή.

Ανισότητα Αριθμητικού - Γεωμετρικού Μέσου έγραψε: Για μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x_i \; , \; 1 \leq i \leq \nu$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}x_i \geq \sqrt[\nu]{\prod_{i=1}^{\nu}x_i}}$

Απόδειξη: Για τη συγκεκριμένη απόδειξη θα θεωρήσουμε ως

τη συνάρτηση $f(x) = \ln x$ . Παρατηρούμε ότι $f'(x) = \frac{1}{x}$ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Συνεπώς:

$\displaystyle{\begin{aligned} f\left ( \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}x_i \right )\geq \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}f(x_i) &\Leftrightarrow \ln \left ( \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}x_i \right )\geq \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}\ln \left ( x_i \right ) \\ &\Leftrightarrow \ln \left ( \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}x_i \right )\geq \frac{1}{\nu}\ln \left ( \prod_{i=1}^{\nu}x_i \right ) \\ &\Leftrightarrow \ln \left ( \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}x_i \right )\geq \ln \left ( \sqrt[\nu]{\prod_{i=1}^{\nu}x_i} \right )\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\ln \; \text{\gr γνήσια αύξουσα} }{\Leftarrow\!=\!\!=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}x_i\geq \sqrt[\nu]{\prod_{i=1}^{\nu}x_i} \end{aligned}}$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Tolaso J Kos · #3

Για τη Hadamard μπορείς να δεις εδώ. Δε ξέρω αν σου κάνει .

"Έγκυρες" αποδείξεις αξιοσημείωτων ανισοτήτων;

"Έγκυρες" αποδείξεις αξιοσημείωτων ανισοτήτων;

Re: "Έγκυρες" αποδείξεις αξιοσημείωτων ανισοτήτων;

Re: "Έγκυρες" αποδείξεις αξιοσημείωτων ανισοτήτων;

Μέλη σε σύνδεση