Ε , όχι και προφανές !

KARKAR · #1

Δείξτε , με κάποιον λογικοφανή τρόπο , ότι : $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{e^x}{x}dx>\frac{\pi}{2}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 24, 2020 2:16 pm
Δείξτε , με κάποιον λογικοφανή τρόπο , ότι : $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{e^x}{x}dx>\frac{\pi}{2}$

Για $x\ge1,$ η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και $\displaystyle \frac{{{e^x}}}{x} \ge e \Rightarrow \int_1^{\sqrt e } {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \ge \int_1^{\sqrt e } e {\rm{ }}dx = e\left( {\sqrt e - 1} \right) > \frac{\pi }{2}$

Με γνωστές(προσεγγιστικά) τις τιμές των $e, \pi,$ το συμπέρασμα αποδεικνύεται με απλό κομπιουτεράκι τεσσάρων πράξεων.

Θα μπορούσαμε άραγε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle \int_1^{\sqrt e } {\frac{{{e^x}}}{x}dx < \frac{{3\pi }}{5}} ;$ (Το αφήνω ανοιχτό).

Ε , όχι και προφανές !

Ε , όχι και προφανές !

Re: Ε , όχι και προφανές !

Μέλη σε σύνδεση