Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

#1

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι

τέτοιοι ώστε ο $\displaystyle \dfrac{1}{5\cdot 2^m}\sum_{k=0}^m {2m+1\choose 2k}3^k$ να είναι περιττός ακέραιος.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Θέτω $\displaystyle a_m = \frac{1}{2^{m+1}}\left[(1+\sqrt{3})^{2m+1} + (1-\sqrt{3})^{2m+1}\right]$ και παρατηρώ ότι

$\displaystyle a_m = \frac{1}{2^{m+1}}\sum_{r=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{r}\left[ \sqrt{3}^r + (-\sqrt{3})^r\right] = \frac{1}{2^m}\sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{2k}3^k$

Ισχύει επίσης ότι $\displaystyle a_m = \frac{(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^m + (1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^m}{2}$

Επειδή τα $2\pm \sqrt{3}$ είναι ρίζες της x^2 - 4x + 1

τότε από τη θεωρία των αναδρομικών σχέσεων έχουμε $a_{m+2} = 4a_{m+1}-a_m$ .

Οι αρχικές συνθήκες είναι a_0 = 1

και

. Είναι άμεσο τώρα ότι η (a_n)

είναι ακολουθία ακεραίων και είναι απλό να ελεγχθεί ότι modulo 10 η ακολουθία είναι η $1,5,9,1,5,9,\ldots$ και είναι περιοδική με περίοδο

.

Επομένως για $m \equiv 1 \bmod 3$ έχουμε $a_m \equiv 5 \bmod 10$ και άρα ο a_m/5

που είναι ο δεδομένος αριθμός είναι περιττός ακέραιος.

min## · #3

Το διωνυμικό από μέσα γράφεται $\frac{(1+\sqrt{3})^{2m+1}+(1-\sqrt{3})^{2m+1}}{2}$ .
Αυτό δίνει την αναδρομική με τύπο $a_{n}=2a_{n-1}+2a_{n-2},a_{1}=1,a_{2}=4$ από την οποία παίρνουμε τους περιττούς όρους (με περιττό δείκτη εννοώντας) για το παραπάνω άθροισμα.
Με λίγη σκέψη,οι περιττοί όροι ικανοποιούν την $b_{n}=8b_{n-1}-4b_{n-2},b_{1}=1,b_{2}=10$ .
Είναι σχετικά εύκολο να δείξουμε με επαγωγή πως $u_{2}(b_{n})=n-1,\forall n$ γεγονός που δηλώνει πως αν αγνοήσουμε το πεντάρι στην αρχική,ο αριθμός που μένει είναι πάντα περιττός ακέραιος.
Επομένως αρκεί νδο. $5/b_{n}$ για άπειρα

.
Για αυτό παρατηρούμε πως $5/b_{2}=10$ και πως η ακολουθία επαναλαμβάνεται mod5

κάθε

όρους:
Mπορούμε να εργαστούμε στο $\mathbb{Z}_{5[\sqrt3]}=\left \{ a+b \sqrt{3}/a,b \in \mathbb{Z}_{5} \right \}$ :
Τα 5^2-1

μη μηδενικά στοιχεία αυτού σχηματίζουν μια ομάδα (υπό τον πολλαπλασιασμό) και επομένως $u^{5^2-1}=1$ για αυτά τα στοιχεία.(η ισότητα στο $\mathbb{Z}_{5[\sqrt3]}$ ).(Θεώρημα Lagrange

-γενίκευση Fermat

).Από εδώ,εφαρμόζοντας την παρατήρηση για τα στοιχεία $1+\sqrt{3},1-\sqrt{3}$ έπεται ότι όντως η ακολουθία επαναλαμβάνεται κάθε

όρους ,δηλαδή οι όροι 2,26,50...

της $b_{n}$ μας κάνουν κλπ.
edit:too slow
edit:προσθήκη

Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Re: Άθροισμα που είναι περιττός ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση