Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Tolaso J Kos · #41

Άσκηση 13

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{e^x-\sin x-\cos x}\, \mathrm{d}x=-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\ln \left ( e^\pi-1 \right )}$

#42

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 8:33 pm
Άσκηση 13

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{e^x-\sin x-\cos x}\, \mathrm{d}x=-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\ln \left ( e^\pi-1 \right )}$

Είναι ουσιαστικά ίδια με την Άσκηση 6 (βλέπε και το ποστ #

) εκτός από επουσιώδεις αλλαγές στα νούμερα.

$\displaystyle{ \displaystyle{\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin x}{e^x-\sin x-\cos x}\,dx= \int_{\pi}^{2\pi}\frac{-\frac {1}{2}(e^x-\sin x - \cos x) + \frac {1}{2}(e^x-\cos x + \sin x) }{e^x-\sin x-\cos x}\,dx=}$

$\displaystyle{= \left [ -\frac {1}{2}x + \frac {1}{2}\ln (e^x-\sin x - \cos x) \right ]_{\pi}^{2\pi}= -\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\ln \left ( e^\pi-1 \right )}}$

Silver · #43

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am
Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το $\displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}$

Ίσως σας παιδέψει αλλά η σωστή αλλαγή μεταβλητής το στρώνει.

Edit: Πρόσθεσα τα άκρα της ολοκλήρωσης, που τα είχα ξεχάσει.

Εγώ δοκίμασα μια πιο κλασική αλλαγή μεταβλητής $x \rightarrow tanx$ και έτσι έχουμε

$\int_{0}^{1} \frac{ln(1+x)}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{\pi /4} \frac{ln(1+tanx)}{1+tan^{2}x}\frac{1}{cos^{2}x}dx=\int_{0}^{\pi /4}ln(1+tanx)dx=$

$\int_{0}^{\pi /4}(ln(sinx+cosx)-ln(cosx))dx=\int_{0}^{\pi /4}(ln(\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi }{4}))-ln(cosx))dx=$

$\int_{0}^{\pi /4}(ln(\sqrt{2})+ln(cos(x-\frac{\pi }{4}))-ln(cosx))dx=$

$\int_{0}^{\pi /4}ln(\sqrt{2})dx+\int_{0}^{\pi /4}ln(cos(\frac{\pi }{4}-x))dx-\int_{0}^{\pi /4}ln(cosx)dx$

και o μεσαίος όρος με αλλαγή μεταβλητής $x \rightarrow \frac{\pi }{4}-x$ γίνεται

$\int_{0}^{\pi /4}ln(\sqrt{2})dx+\int_{0}^{\pi /4}ln(cosx)dx-\int_{0}^{\pi /4}ln(cosx)dx=\int_{0}^{\pi /4}ln(\sqrt{2})dx=\frac{\pi ln2}{8}$

Tolaso J Kos · #44

Άσκηση 13

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} \, \mathrm{d}x}$

#45

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 19, 2019 8:46 pm
Άσκηση 13

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} \, \mathrm{d}x}$

Η αλλαγή μεταβλητής $y=\pi / 2 -x$ δίνει

$\displaystyle{\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos ^3 y}{\cos^3 y + \sin^3 y}dy}$ , Άρα

$\displaystyle{\displaystyle{2\mathcal{J} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x +\cos^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx = \pi/2}$ , και λοιπά.

#46

Άσκηση 14

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \ln \left (1 + \dfrac {1}{\sqrt {x}} \right ) \, dx}$ .

Έχει κάποιες πράξεις αλλά είναι απλό.

Tolaso J Kos · #47

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 22, 2019 9:41 am
Άσκηση 14

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \ln \left (1 + \dfrac {1}{\sqrt {x}} \right ) \, dx}$ .

Έχει κάποιες πράξεις αλλά είναι απλό.

Για να ορίζεται η συνάρτηση

πρέπει

και $1+\frac{1}{\sqrt{x}}>0$ που ισχύει. Συνεπώς x>0

. Άρα:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \ln \left ( 1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \, \mathrm{d}x &= \int \ln \left ( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= \int \left ( \ln \left ( 1+\sqrt{x} \right ) - \ln \sqrt{x} \right ) \, \mathrm{d}x \\ &=\int \ln \left ( 1+\sqrt{x} \right ) \, \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \ln x \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$

Τότε, έχουμε:

Για το δεύτερο ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int \ln x \, \mathrm{d}x &= \int (x)' \ln x \, \mathrm{d}x \\ &= x \ln x - \int \frac{x}{x} \, \mathrm{d}x \\ &=x \ln x - \int \mathrm{d}x \\ &= x\ln x -x +c_1 \end{aligned}}$
Για το πρώτο ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \ln \left ( 1+\sqrt{x} \right ) \, \mathrm{d}x &\overset{u=1+\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int 2\left ( u-1 \right )\ln \left ( 1+\sqrt{\left ( u-1 \right )^2} \right )\, \mathrm{d}x \\ &=\int 2\left ( u-1 \right )\ln u \, \mathrm{d}u \\ &=2\int u \ln u \, \mathrm{d}u - 2\int \ln u \, \mathrm{d}u \\ &=\frac{2u^2}{2} \ln u - 2\int \frac{u^2}{u} \, \mathrm{d}u -2 \left ( u \ln u - u \right ) \\ &= u^2 \ln u - 2 \int u \, \mathrm{d}u -2 u \ln u + 2u \\ &=u^2 \ln u -u^2 -2u \ln u +2u \\ &=\left ( 1+\sqrt{x} \right )^2 \ln \left ( 1+\sqrt{x} \right ) - \left ( 1+\sqrt{x} \right )^2 -\\ &\quad \quad \quad - 2 \left ( 1+\sqrt{x} \right )^2 \ln \left ( 1+\sqrt{x} \right ) +2 \left ( 1+\sqrt{x} \right )+c_2 \end{aligned}}$

Συνεπώς μαζεύοντας όλα τα παραπάνω έχουμε:

$\displaystyle{\int \ln \left ( 1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \, \mathrm{d}x = \sqrt{x} +x \ln \left ( 1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right ) -\ln \left ( 1+\sqrt{x} \right )+c \; , \; c \in \mathbb{R}}$

KARKAR · #48

Έστω

, ένας θετικός ακέραιος . Υπολογίστε το : $\displaystyle \int\frac{e^{nx}+n}{e^x+1}dx$

#49

Ας την ονομάσουμε

Άσκηση 15

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 22, 2019 12:47 pm
Έστω , ένας θετικός ακέραιος . Υπολογίστε το : $\displaystyle \int\frac{e^{nx}+n}{e^x+1}dx$

Για

άμεσο. Αλλιώς θέτουμε y=e^x

οπότε $\frac {dy}{dx} = y$ , και το ολοκλήρωμα ισούται

$\displaystyle{ \displaystyle \int\frac{y^{n}+n}{y(y+1)}dy= \int\frac{ y^{n}}{y(y+1)}dy + \int \frac{n}{y(y+1)}dy = I_n+ \int \frac{n}{y}dy-\int \frac{n}{y+1}dy}$

Τα δύο τελευταία είναι άμεσα. Επίσης

$\displaystyle{I_n= \int\frac{ y^{n-1}(y+1)- y^{n-1}}{y(y+1)}dy = \int y^{n-2}dy+ \int\frac{ y^{n-2}}{y+1}dy= \frac {1}{n-1} y^{n-1} + I_{n-1}}$ , και λοιπά με αναδρομή.

Αν έκανα σωστά τις πράξεις θα βρούμε $\displaystyle{ \frac {1}{n-1} e^{(n-1)x} - \frac {1}{n-2} e^{(n-2)x}+...+ (-1)^ne^x-(n+(-1)^n)\ln (e^x+1)-nx}$

Edit: Διόρθωσα ένα πρόσημο. Ακριβέστερα κάποιο

έγινε

#50

Άσκηση 16

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{e^x + \sqrt {e^x}} }$ .

Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.

Tolaso J Kos · #51

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 22, 2019 10:07 pm
Άσκηση 16

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {dx}{e^x + \sqrt {e^x}} }$ .

Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.

Δε με δυσκόλεψε ... αλλά δε θεωρώ ότι είναι και από τις εύκολες οδούς που πήρα. Υπάρχει κάτι άλλο;

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{e^x+\sqrt{e^x}} &\overset{u=e^x}{=\! =\! =\! =\!}\int \frac{\mathrm{d}u}{u\left (u+\sqrt{u} \right )} \\ &=\int \frac{\mathrm{d}u}{u^{3/2}+ u^2} \\ &=\int \left ( \frac{1}{u^{3/2}} - \frac{1}{u^{1/2}+1} + \frac{1}{\sqrt{u}} - \frac{1}{u} \right ) \, \mathrm{d}u \\ &=\int \frac{\mathrm{d}u}{u^{3/2}} - \int \frac{\mathrm{d}u}{1+\sqrt{u}} + \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u}} - \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= -\frac{2}{\sqrt{u}} - 2\sqrt{u} + 2\ln \left (1+\sqrt{u}\right ) + 2\sqrt{u} - \ln u \\ &=2\ln \left ( 1+\sqrt{u} \right ) -\ln u - \frac{2}{\sqrt{u}} \\ &=2 \ln \left ( 1+\sqrt{e^x} \right ) - \ln e^x - \frac{2}{\sqrt{e^x}} \\ &=2\ln \left ( 1+\sqrt{e^x} \right ) - x - \frac{2}{\sqrt{e^x}} + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$

#52

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2019 1:23 am
Δε με δυσκόλεψε ... αλλά δε θεωρώ ότι είναι και από τις εύκολες οδούς που πήρα. Υπάρχει κάτι άλλο;

Ναι, είναι ευκολότερο να θέσουμε $\displaystyle{e^x=t^2}$ , οπότε $\displaystyle{e^x \dfrac {dx}{dt} =2t}$ ισοδύναμα $\displaystyle{\dfrac {dx}{dt} =\dfrac {2t}{t^2} =\dfrac {2}{t}}$ . Άρα

$\displaystyle{\int \dfrac {dx}{e^x + \sqrt {e^x}} = \int \dfrac {2dt}{(t^2+t)t} = 2\int \left ( \dfrac {1}{t+1}-\dfrac {1}{t} + \dfrac {1}{t^2}\right ) dt }$ , και λοιπά.

#53

Με αφορμή το προηγούμενο ποστ.

Άσκηση 17

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \sqrt { x+ \sqrt x } dx$ .

Απλή.

Tolaso J Kos · #54

Άσκηση 18

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}} \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #55

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2019 6:29 pm
Με αφορμή το προηγούμενο ποστ.

Άσκηση 17

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \sqrt { x+ \sqrt x } dx$ .

Απλή.

Δε τη θεωρώ καθόλου απλή για Γ' Λυκείου και αυτό διότι οι υπερβολικές συναρτήσεις που τη καθιστούν σχετικά απλή για Απ.2 είναι εκτός ύλης. Ένα ακροβατικό θα μπορούσε να είναι το παρακάτω.

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \sqrt{x+\sqrt{x}} \, \mathrm{d}y &\overset{y=\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{=\! =\! =\! =\! =\!=\!=\!} -4\int \frac{y^2}{\left (y^2-1 \right )^4} \, \mathrm{d}y \\ &=-4\int \bigg ( -\frac{1}{32(y+1)} - \frac{1}{32(y+1)^2} + \frac{1}{16(y+1)^4} + \\ &\quad \quad + \frac{1}{32(y-1)} - \frac{1}{32(y-1)^2} + \frac{1}{16\left ( y-1 \right )^4} \bigg ) \, \mathrm{d}y \\ &= \cdots \end{aligned}}$

Πάντως αυτό το ολοκλήρωμα είναι πιο εύκολο:

Άσκηση 17 Β

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}$
Ακολουθήστε την αντικατάσταση που έγινε πιο πάνω δηλ. $y=\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}$ οπότε $x=\frac{1}{(y^2-1)^2}$ και $\mathrm {d}x = -\frac {4y}{(y^2-1)^3}\,\mathrm{d}y$ .

#56

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 9:57 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 23, 2019 6:29 pm
Με αφορμή το προηγούμενο ποστ.

Άσκηση 17

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \sqrt { x+ \sqrt x } dx$ .

Απλή.

Δε τη θεωρώ καθόλου απλή για Γ' Λυκείου και αυτό διότι οι υπερβολικές συναρτήσεις που τη καθιστούν σχετικά απλή για Απ.2 είναι εκτός ύλης. Ένα ακροβατικό θα μπορούσε να είναι το παρακάτω.

Μπορούμε θέτοντας x=t^2

οπότε ανάγεται στο

$\displaystyle{\int 2t\sqrt {t^2+1} dt = \int (2t+1)\sqrt {t^2+1} dt- \int \sqrt {t^2+1} dt= \frac {2}{3} (t^2+t)^{3/2} - \int \sqrt {t^2+t} dt}$ .

Το τελευταίο μέσω της t^2+t= (t+1/2)^2-1/4

ανάγεται στο $\int \sqrt {v^2-1}$ που είναι γνωστό. Γίνεται μεν με υπορβολικές συναρτήσεις αλλά, απλούστερα, με $v=\sec \theta$ . Οι διαδικασία είναι μεγαλούτσικη αλλά ρουτίνα (και γνωστή).

harrisp · #57

Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \ln(cosx) dx}$

M.S.Vovos · #58

Άσκηση 19

Να υπολογιστεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{I}=\int_{1}^{2}e^{x}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{3}} \right )\textup{d}x}$ Φιλικά,
Μάριος

#59

harrisp έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 11:57 am
Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \ln(cosx) dx}$

Πρέπει να το έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ αλλά άντε βρες το.

Η αλλαγή μεταβλητής $y=\pi /2 -x$ δίνει $\displaystyle{I= \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) dx= \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx}$ . Άρα

$\displaystyle{2I= \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx+ \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x \cos x ) dx = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin 2x) dx - \int_0^{\pi/2} \ln(2) dx}$

$\displaystyle{= \frac {1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin y) dy - \frac {\pi}{2} \ln(2) = \frac {1}{2} \int_0^{\pi /2} \ln(\sin y) dy +\frac {1}{2} \int_{\pi /2}^{\pi} \ln(\sin y) dy - \frac {\pi}{2} \ln(2) = }$

$\displaystyle{=\frac {1}{2} \int_0^{\pi /2} \ln(\sin y) dy +\frac {1}{2} \int_{0}^{\pi /2} \ln(\sin y) dy - \frac {\pi}{2} \ln(2) = I +\frac {\pi}{2} \ln(2) }$

και λοιπά.

#60

Ας ονομαστεί

Άσκηση 20

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 24, 2019 12:31 pm
Άσκηση 19

Να υπολογιστεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{I}=\int_{1}^{2}e^{x}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{3}} \right )\textup{d}x}$

Είναι άμεση με ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Αλλιώς (το οποίο κάνω γενικότερα, ως αόριστο ολοκλήρωμα)

$\displaystyle{\int e^{x}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{3}} \right )dx = \int e^{x}\left ( \left (\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}} \right ) +\left ( -\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^{3}}\right ) \right )dx$

$\displaystyle{ = \int \left ( e^{x} \left (\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}} \right ) \right )' dx= e^{x}\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}} \right ) + c}$

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση