Άσκηση Bolzano με σύνολα τιμών

[dijkstra]

Καλησπέρα
Μου έτυχε η εξής άσκηση:
Δίνονται δυο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το . Το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της . Να δείξετε ότι οι δυο συναρτήσεις έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
Καμιά ιδέα.
Σκέφτηκα να πάω με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή να πω ότι δεν υπάρχει κοινό σημείο άρα η θα είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική, δηλαδή η θα είναι πάντα πάνω από την ή το αντίστροφο.
Καμιά ιδέα πως μπορεί να προχωρήσει αυτό ή κάτι άλλο?

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Καλησπέρα
Μου έτυχε η εξής άσκηση:
Δίνονται δυο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το . Το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της . Να δείξετε ότι οι δυο συναρτήσεις έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
Καμιά ιδέα.
Σκέφτηκα να πάω με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή να πω ότι δεν υπάρχει κοινό σημείο άρα η θα είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική, δηλαδή η θα είναι πάντα πάνω από την ή το αντίστροφο.
Καμιά ιδέα πως μπορεί να προχωρήσει αυτό ή κάτι άλλο?

Προφανώς έχεις ξεχάσει το ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς.


Εχουμε
με
.
Αν

τότε για την

είναι



και μετά Bolzano

[dijkstra]

Έχεις δίκιο. Σε ευχαριστώ για την γρήγορη απάντηση

[Mihalis_Lambrou]

Σκέφτηκα να πάω με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή να πω ότι δεν υπάρχει κοινό σημείο άρα η θα είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική, δηλαδή η θα είναι πάντα πάνω από την ή το αντίστροφο.
Καμιά ιδέα πως μπορεί να προχωρήσει αυτό ή κάτι άλλο?

Ας δούμε και έναν τρόπο πώς μπορεί να προχωρήσει αυτό.

Έστω ότι για κάθε είναι (η περίπτωση του όμοια).

Έστω η μέγιστη τιμή της . Είναι τότε .

Τι μπορείς να πεις για την υπόθεση ότι το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της ;

Συνέχισε. Περιμένουμε εδώ να ολοκληρώσεις το βήμα αυτό.

[dijkstra]

Αφού το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της τότε

άρα καταλήγουμε σε άτοπο

[Mihalis_Lambrou]

[dijkstra]

Σας ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας.
Πραγματικά το feedback που δώσατε ήταν το minimum δυνατό ώστε να μου αφήσετε περιθώριο να ολοκληρώσω την απόδειξη.
Αυτό μάλλον πάει σε εσάς