Υψηλόβαθμη

KARKAR · #1

: Υψηλόβαθμη.png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Το

είναι σημείο του εγκύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, πλευράς

.

Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων : SA^2+SB^2+SC^2

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 09, 2019 9:08 pm
Υψηλόβαθμη.pngΤο είναι σημείο του εγκύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου , πλευράς .

Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων : .

Καλησπέρα!

$s\cdot r=\left ( ABC \right )=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow r=\dfrac{16\sqrt{3}}{6\cdot 4}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ( s,r

η ημιπερίμετρος και η ακτίνα του έγκυκλου αντίστοιχα)

Επειδή το έκκεντρο(έστω

) θα είναι και βαρύκεντρο από το θεώρημα Leibniz

είναι $SA^2+SB^2+SC^2=3SI^2+\dfrac{3a^2}{3}=3r^2+16=4+16=20$

#3

Αφού τον ασυγκράτητο Πρόδρομο, να θέσω ένα επιπλέον ερώτημα:

: Υψηλόβαθμη.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Να υπολογίσετε το άθροισμα SD^2+SE^2+SF^2.

KARKAR · #4

$2SF^2+\dfrac{AB^2}{2}=SA^2+SB^2$ . Ομοίως για τα SD^2 , SE^2

.

Με πρόσθεση κατά μέλη και αξιοποίηση του αρχικού ερωτήματος

βρίσκουμε : SF^2+SD^2+SE^2=8

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 10, 2019 1:47 pm
$2SF^2+\dfrac{AB^2}{2}=SA^2+SB^2$ . Ομοίως για τα .

Με πρόσθεση κατά μέλη και αξιοποίηση του αρχικού ερωτήματος

βρίσκουμε : .

Πέσαμε σε φαύλο κύκλο, γιατί εγώ σκόπευα να χρησιμοποιήσω αυτή για να αποδείξω το αρχικό ερώτημα

(Κάπου τις έχουμε ξαναδεί αυτές στο

αλλά δεν μπορώ να τις βρω).

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 10, 2019 1:07 pm

Να υπολογίσετε το άθροισμα

Καλησπέρα!

Γενικά ισχύει ότι :
Αν ABC

ισόπλευρο πλευράς

και

σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τότε για κάθε

το άθροισμα SA^2+SB^2+SC^2

είναι σταθερό και ίσο με 2a^2

.
Η απόδειξη γίνεται εύκολα με Leibniz

: $SA^2+SB^2+SC^2=3R^2+\dfrac{1}{3}\left ( 3a^2 \right )=a^2+a^2=2a ^2$
Το DEF έχει a=2

άρα

.

Επιπλέον δείξτε ότι αν

τυχαίο σημείο του μικρού τόξου

(του περίκυκλου) ισοπλεύρου ABC

πλευράς

, τότε $SA^2=a^2+SB\cdot SE$ .

#7

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 10, 2019 3:17 pm

Επιπλέον δείξτε ότι αν τυχαίο σημείο του μικρού τόξου (του περίκυκλου) ισοπλεύρου πλευράς , τότε $SA^2=a^2+SB\cdot SE$ .

Γεια σου Πρόδρομε!

Είναι, SA=SB+SC

και από ν. συνημιτόνου στο SBC:

$\displaystyle {a^2} = S{B^2} + S{C^2} + SB \cdot SC = {(SB + SC)^2} - SB \cdot SC \Leftrightarrow$ $\boxed{SA^2=a^2+SB\cdot SE}$

Στο αρχικό τώρα, πρόβλημα, με τους τύπους των διαμέσων στα

: Υψηλόβαθμη.ΙΙ.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

$\displaystyle S{D^2} + S{E^2} + S{F^2} = \frac{{4(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}) - 3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{4(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}) - 3{a^2}}}{4},$

απ' όπου $\boxed{SA^2+SB^2+SC^2=\dfrac{5a^2}{4}}$ και στο παράδειγμά μας, SA^2+SB^2+SC^2=20

Υψηλόβαθμη

Υψηλόβαθμη

Re: Υψηλόβαθμη

Re: Υψηλόβαθμη

Re: Υψηλόβαθμη

Re: Υψηλόβαθμη

Re: Υψηλόβαθμη

Re: Υψηλόβαθμη

Μέλη σε σύνδεση