Πρόβλημα με μονοτονία

Soniram89 · #1

Χαίρετε, παραθέτω μια άσκηση που βρήκα απο γνωστό σχολικό βοήθημα.

$f(x)=\dfrac{x^{10}-81x^6+\alpha }{x^5-9x^3}$

α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού.
β)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια η περιττή.
γ)Αν Μ(-1,-10) ανήκει στη γραφική παράσταση της f.
i)Να βρεθεί το α
ii)Να απλοποιήσετε την f
iii)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Απαντώ σύντομα στα εύκολα

α) $A=(-\infty ,-3)\cup (-3,0)\cup (0,3)\cup (3,+\infty )$
β)

περιττή.
γ)i) $\alpha =0$
γ)ii) f(x)=x^5+9x^3

για $x\epsilon A$
γ)iii) Εδώ το βιβλίο γράφει (χωρίς να υπάρχει λύση) οτι η f είναι γνησίως αύξουσα. Πως προκύπτει αυτό το συμπέρασμα από τη στιγμή που η f είναι ορισμένη σε ένωση διαστημάτων? Ευχαριστώ πολύ. (Αναφέρομαι σε λύση με ύλη 2ας λυκείου προφανώς.)

#2

Soniram89 έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 1:58 pm
γ)iii) Εδώ το βιβλίο γράφει (χωρίς να υπάρχει λύση) οτι η f είναι γνησίως αύξουσα. Πως προκύπτει αυτό το συμπέρασμα από τη στιγμή που η f είναι ορισμένη σε ένωση διαστημάτων? Ευχαριστώ πολύ. (Αναφέρομαι σε λύση με ύλη 2ας λυκείου προφανώς.)

Το ότι ορίζεται σε διαστήματα δεν μας αφορά όσον αφορά την μονοτονία. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να ισχύει
"για x,y

στο πεδίο ορισμού (*) με x < y

ισχύει

.

(*) άσχετα αν είναι σε διαφορετικά τμήματά του

Άσκηση για σένα για να κατανοήσεις καλύτερα αυτά που λέω.

Έστω $f: A\to \mathbb R$ , όπου $Α=\{1,2,3\}$ , η συνάρτηση $f(1)=1,\, f(2) =10, \,f(3)=1000$ . Τι λες, είναι ή δεν είναι γνήσια αύξουσα; Το πεδίο ορισμού είναι διάστημα;

Περιμένουμε εδώ την σκέψη σου.

panagiotis iliopoulos · #3

Το συγκεκριμένο βοήθημα κατά τη γνώμη μου έπρεπε να γράφει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. Αφού επιπλέον τα πλευρικά όρια της συνάρτησης στα σημεία που δεν ορίζεται είναι πραγματικοί αριθμοί και ίσα(δεν είναι συν πλην άπειρο) τότε συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα η $f(x)=-\frac{1}{x}$ είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-00,0)

και

αλλά δεν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της διότι τα όριά της στο σημείο που δεν ορίζεται δεν είναι πραγματικοί αριθμοί.

#4

Παναγιώτη, κάνεις τα εύκολα, δύσκολα.

Εδώ η συνάρτηση είναι η f(x)=x^5+9x^3

για $x\in A$ . Η συνάρτηση με τον ίδιο τύπο αλλά ορισμένη σε όλο το $\mathbb R$ είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο), άρα πόσο μάλλον και ο περιορισμός της στο

. Με λίγα λόγια για την f(x)=x^5+9x^3

ισχύει η συνεπαγωγή $x<y \Rightarrow f(x)<f(y) \, (*)$ είτε τα x,y

ανήκουν στο

είτε όχι. Άρα η δοθείσα (με πεδίο ορισμού το

) είναι γνήσια αύξουσα γιατί ισχύει η (*)

.

Δεν χρειάζεται να μπερδεύουμε όρια. Το παράδειγμα που δίνεις με την -1/x

είναι μεν σωστό, αλλά δεν εφαρμόζεται εδώ.

abgd · #5

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 4:42 pm
Αφού επιπλέον τα όρια της συνάρτησης στα σημεία που δεν ορίζεται είναι πραγματικοί αριθμοί (δεν είναι συν πλην άπειρο) τότε συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Έτσι όπως το γράφεις θα μπορούσε κάποιος μαθητής να παραπλανηθεί και να κάνει το παρακάτω λάθος:
Η συνάρτηση
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x+1, \ \ x>0 & \\ x-1, \ \ x>1& \end{matrix}\right.$
είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα $(-\infty,0)$ και $(1,+\infty)$
και επιπλέον τα όριά της στα σημεία

και

είναι πραγματικοί αριθμοί οπότε
η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Αυτό δηλαδή με τα όρια... τι είναι;

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 6:37 pm
Παναγιώτη, κάνεις τα εύκολα, δύσκολα.

Εδώ η συνάρτηση είναι η για $x\in A$ . Η συνάρτηση με τον ίδιο τύπο αλλά ορισμένη σε όλο το $\mathbb R$ είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο), άρα πόσο μάλλον και ο περιορισμός της στο . Με λίγα λόγια για την ισχύει η συνεπαγωγή $x<y \Rightarrow f(x)<f(y) \, (*)$ είτε τα ανήκουν στο είτε όχι. Άρα η δοθείσα (με πεδίο ορισμού το ) είναι γνήσια αύξουσα γιατί ισχύει η .

Δεν χρειάζεται να μπερδεύουμε όρια. Το παράδειγμα που δίνεις με την είναι μεν σωστό, αλλά δεν εφαρμόζεται εδώ.

Καλησπέρα !

Το σχολικό βιβλίο ορίζει μονοτονία μόνο σε διάστημα. Σε αυτό αναφέρεται νομίζω το προηγούμενο μήνυμα του Παναγιώτη.

Με άλλα λόγια, το ερώτημα της μονοτονίας στην παραπάνω άσκηση, δεν έχει νόημα για τα σχολικά

δεδομένα(εκτός αν δοθούν οι τιμές f(0),f(-3),f(3)

) !

Κόψε από δω, βγάλε από κει, παγίδες από τη μια, μπερδέματα από την άλλη , τελικά την πληρώνει ο κυνηγός και όχι ο ...λαγός !

Soniram89 · #7

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας. Τείνω και εγώ στην άποψη του κυρίου iliopoulou και του κυρίου Στεργίου, ότι δηλαδή δεν έχουμε ορισμό για να εφαρμόσουμε στη συγκεκριμένη άσκηση καθώς δεν δουλεύουμε σε διάστημα.

Βέβαια όπως λέει ο κύριος Λάμπρου είναι προφανές ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για τους λόγους που μας εξήγησε. Οπότε μια λύση ίσως να ήταν αν βγάζαμε την f γνησιως μονότονη σε καθένα απο τα διαστήματα που ορίζεται και στη συνέχεια δουλεύαμε με επιλογή των x1,x2 ξεχωριστά σε κάθε διάστημα. Αρκεί να δείχναμε σε κάθε περίπτωση ότι οι τιμες f(x1),f(x2) διατηρουν την διάταξη που έχουν τα x1,x2. Αυτό όμως θα είχε πολλές περιπτώσεις και θα μας έπαιρνε αρκετό χρόνο. Έχω μια τέτοια λύση στο μυαλό μου σε περίπτωση που σας ενδιαφέρει να τη δείτε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 8:24 pm
Με άλλα λόγια, το ερώτημα της μονοτονίας στην παραπάνω άσκηση, δεν έχει νόημα για τα σχολικά
δεδομένα(εκτός αν δοθούν οι τιμές ) !

Εγώ θα έλεγα ότι μάλλον δεν έχουν νόημα τα σχολικά δεδομένα για τα Μαθηματικά .

Μάρκος Βασίλης · #9

Soniram89 έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:43 pm
Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας. Τείνω και εγώ στην άποψη του κυρίου iliopoulou και του κυρίου Στεργίου, ότι δηλαδή δεν έχουμε ορισμό για να εφαρμόσουμε στη συγκεκριμένη άσκηση καθώς δεν δουλεύουμε σε διάστημα.

Βέβαια όπως λέει ο κύριος Λάμπρου είναι προφανές ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για τους λόγους που μας εξήγησε. Οπότε μια λύση ίσως να ήταν αν βγάζαμε την f γνησιως μονότονη σε καθένα απο τα διαστήματα που ορίζεται και στη συνέχεια δουλεύαμε με επιλογή των x1,x2 ξεχωριστά σε κάθε διάστημα. Αρκεί να δείχναμε σε κάθε περίπτωση ότι οι τιμες f(x1),f(x2) διατηρουν την διάταξη που έχουν τα x1,x2. Αυτό όμως θα είχε πολλές περιπτώσεις και θα μας έπαιρνε αρκετό χρόνο. Έχω μια τέτοια λύση στο μυαλό μου σε περίπτωση που σας ενδιαφέρει να τη δείτε.

Νομίζω ότι πιο απλό είναι αυτό που προτείνει ο κ. Λάμπρου. Παίρνεις την g(x)=x^5+9x^3

με $x\in\mathbb{R}$ , δείχνεις ότι είναι γνησίως αύξουσα και μετά λες ό,τι θες. Απλώς, στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, δεν έχει νόημα μονοτονία σε ένωση ξένων διαστημάτων.

panagiotis iliopoulos · #10

Παρέλειψα να γράψω και ζητώ συγγνώμη ότι πρέπει τα πλευρικά όρια στα σημεία που δεν ορίζεται να είναι ίσα και πραγματικοί αριθμοί.Το διόρθωσα και παραπάνω.

Μάρκος Βασίλης · #11

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2019 6:32 am
Παρέλειψα να γράψω και ζητώ συγγνώμη ότι πρέπει τα πλευρικά όρια στα σημεία που δεν ορίζεται να είναι ίσα και πραγματικοί αριθμοί.Το διόρθωσα και παραπάνω.

Συνοπτικά, αυτό που λες σημαίνει ότι η

έχει συνεχή επέκταση. Υπάρχει δηλαδή μία συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbbr{R}$ , συνεχής, η οποία, αν περιοριστεί στο D_f

ισούται με την

.

panagiotis iliopoulos · #12

Με βάση το πρόβλημα αυτό,προκύπτει ο εξής ισχυρισμός: Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού της και τα πλευρικά όρια στα σημεία που δεν ορίζεται είναι ίσα και πραγματικοί αριθμοί,τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των διαστημάτων αυτών. Προφανώς είναι αληθής.

Μάρκος Βασίλης · #13

Μπορείς να το γενικεύσεις κι άλλο. Δε χρειάζεται τα όρια να είναι ίσα, αρκεί το δεξί να μην είναι μικρότερο από το αριστερό.

panagiotis iliopoulos · #14

Έχετε δίκιο. Αρκεί το δεξιό όριο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του αριστερού.

abgd · #15

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2019 2:03 pm
Με βάση το πρόβλημα αυτό,προκύπτει ο εξής ισχυρισμός: Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού της και τα πλευρικά όρια στα σημεία που δεν ορίζεται είναι ίσα και πραγματικοί αριθμοί,τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των διαστημάτων αυτών. Προφανώς είναι αληθής.

Πολλές φορές το πιο δύσκολο να αποδειχθεί είναι το ... προφανές!

Πρόταση:
Έστω συνάρτηση

ορισμένη στα διαστήματα (a,b)

και

με $b\leq g$ . Tα a,d

μπορεί να είναι και τα $-\infty$ , $+\infty$ αντίστοιχα.
Αν η

είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (a,b)

και

και $\lim_{x\to b^-}{f(x)}=l_b, \ \ \ \lim_{x\to g^+}{f(x)}=l_g$ , με $l_b \leq l_g$ ,
τότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(a,b)\cup(g,d)$
Απόδειξη:
Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε ζευγάρι $x,y \in(a,b)\cup(g,d)$ με x<y

ισχύει

.
Αυτό ισχύει αν $x,y \in(a,b)$ και αν $x,y \in(g,d)$ αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σ' αυτά τα διαστήματα.
Θα δείξουμε ότι ισχύει και στην περίπτωση που $x \in(a,b)$ και $y \in(g,d)$ .
Είναι f(x)<l_b

. Αν όχι:
θα υπάρχει $x_1 \in (a,b) \wedge x_1>x : f(x_1)> l_b$ . Έτσι, $\lim_{t\to b^-}{\left(f(t)-f(x_1)\right)=l_b-f(x_1)<0$ .
Οπότε,
θα υπάρχει $\delta>0: f(t)<f(x_1), \ \ \forall t \in (b-\delta,b) \Rightarrow t<x_1, \forall t \in (b-\delta,b)$ άτοπο.
Ομοίως... f(y)>l_g

και συνεπώς f(x)<f(y)

#16

abgd έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2019 7:52 pm

Πολλές φορές το πιο δύσκολο να αποδειχθεί είναι το ... προφανές!

Πρόταση:
Έστω συνάρτηση ορισμένη στα διαστήματα και με $b\leq g$ . Tα μπορεί να είναι και τα $-\infty$ , $+\infty$ αντίστοιχα.
Αν η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα και και $\lim_{x\to b^-}{f(x)}=l_b, \ \ \ \lim_{x\to g^+}{f(x)}=l_g$ , με $l_b \leq l_g$ ,
τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο $(a,b)\cup(g,d)$
Απόδειξη:
Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε ζευγάρι $x,y \in(a,b)\cup(g,d)$ με ισχύει .
Αυτό ισχύει αν $x,y \in(a,b)$ και αν $x,y \in(g,d)$ αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σ' αυτά τα διαστήματα.
Θα δείξουμε ότι ισχύει και στην περίπτωση που $x \in(a,b)$ και $y \in(g,d)$ .
Είναι . Αν όχι:
θα υπάρχει $x_1 \in (a,b) \wedge x_1>x : f(x_1)> l_b$ . Έτσι, $\lim_{t\to b^-}{\left(f(t)-f(x_1)\right)=l_b-f(x_1)<0$ .
Οπότε,
θα υπάρχει $\delta>0: f(t)<f(x_1), \ \ \forall t \in (b-\delta,b) \Rightarrow t<x_1, \forall t \in (b-\delta,b)$ άτοπο.
Ομοίως... και συνεπώς

Κώστα και λοιποί φίλοι καλησπέρα !

Ωραία απόδειξη.

Σκέφτομαι λίγο και το εξής :

Κρατάω τα x,y

όπως στην απόδειξή σου(ένα στο κάθε διάστημα).

Αν πάρουμε x<t<u<b

, τότε

και παίρνοντας όριο με $u\to b^{-}$ , βρίσκουμε ότι f(x)<l_b

.

Όμοια είναι l_g<f(y)

, οπότε

.

Είναι οι ίδιες σκέψεις σε άλλη μορφή.

Soniram89 · #17

abgd έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2019 7:52 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 29, 2019 2:03 pm
Με βάση το πρόβλημα αυτό,προκύπτει ο εξής ισχυρισμός: Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού της και τα πλευρικά όρια στα σημεία που δεν ορίζεται είναι ίσα και πραγματικοί αριθμοί,τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των διαστημάτων αυτών. Προφανώς είναι αληθής.
Πολλές φορές το πιο δύσκολο να αποδειχθεί είναι το ... προφανές!

Πρόταση:
Έστω συνάρτηση ορισμένη στα διαστήματα και με $b\leq g$ . Tα μπορεί να είναι και τα $-\infty$ , $+\infty$ αντίστοιχα.
Αν η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα και και $\lim_{x\to b^-}{f(x)}=l_b, \ \ \ \lim_{x\to g^+}{f(x)}=l_g$ , με $l_b \leq l_g$ ,
τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο $(a,b)\cup(g,d)$
Απόδειξη:
Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε ζευγάρι $x,y \in(a,b)\cup(g,d)$ με ισχύει .
Αυτό ισχύει αν $x,y \in(a,b)$ και αν $x,y \in(g,d)$ αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σ' αυτά τα διαστήματα.
Θα δείξουμε ότι ισχύει και στην περίπτωση που $x \in(a,b)$ και $y \in(g,d)$ .
Είναι . Αν όχι:
θα υπάρχει $x_1 \in (a,b) \wedge x_1>x : f(x_1)> l_b$ . Έτσι, $\lim_{t\to b^-}{\left(f(t)-f(x_1)\right)=l_b-f(x_1)<0$ .
Οπότε,
θα υπάρχει $\delta>0: f(t)<f(x_1), \ \ \forall t \in (b-\delta,b) \Rightarrow t<x_1, \forall t \in (b-\delta,b)$ άτοπο.
Ομοίως... και συνεπώς

Πραγματικά τέλειο!! Ευχαριστούμε.

abgd · #18

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2019 10:25 pm
Αν πάρουμε , τότε και παίρνοντας όριο με , βρίσκουμε ότι ....

Μπάμπη καλημέρα.
Το είχα σκεφτεί και έτσι, αλλά έχεις το πρόβλημα με το ίσον: προκύπτει $f(x)\leq l_b \leq l_g \leq f(y)$ .

#19

abgd έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 8:38 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2019 10:25 pm
Αν πάρουμε , τότε και παίρνοντας όριο με , βρίσκουμε ότι ....
Μπάμπη καλημέρα.
Το είχα σκεφτεί και έτσι, αλλά έχεις το πρόβλημα με το ίσον: προκύπτει $f(x)\leq l_b \leq l_g \leq f(y)$ .

Για αυτό ακριβώς πήραμε και τα άλλα σημεία : για να κρατήσουμε το γνήσιο !

.Το όριο δεν θα χαλάσει όλα τα γνήσια παρά μόνο δύο. Να το ξαναδούμε αν έχει κάποιο θέμα.

abgd · #20

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 3:05 pm

abgd έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 02, 2019 8:38 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2019 10:25 pm
Αν πάρουμε , τότε και παίρνοντας όριο με , βρίσκουμε ότι ....
Μπάμπη καλημέρα.
Το είχα σκεφτεί και έτσι, αλλά έχεις το πρόβλημα με το ίσον: προκύπτει $f(x)\leq l_b \leq l_g \leq f(y)$ .
Για αυτό ακριβώς πήραμε και τα άλλα σημεία : για να κρατήσουμε το γνήσιο ! .Το όριο δεν θα χαλάσει όλα τα γνήσια παρά μόνο δύο. Να το ξαναδούμε αν έχει κάποιο θέμα.

Σωστό είναι! Εγώ δεν πρόσεξα ότι πήρες τρία σημεία x,t,u

στο

.

Πρόβλημα με μονοτονία

Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Re: Πρόβλημα με μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση