Ελαχιστοποίηση τμήματος

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (7.21 KiB) Προβλήθηκε 1538 φορές

Στα άκρα τμήματος AB =d

, φέρω κάθετες προς αυτό και ομόρροπες ημιευθείες

και

. Επί της

κινείται σημείο

. Η μεσοκάθετη του

τέμνει το

στο σημείο

και την

στο σημείο

. Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2019 1:32 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΣτα άκρα τμήματος , φέρω κάθετες προς αυτό και ομόρροπες ημιευθείες

και . Επί της κινείται σημείο . Η μεσοκάθετη του τέμνει το

στο σημείο και την στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος .

Έστω

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.Κ.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 1506 φορές

$\boxed{BS = \sqrt {{x^2} + {d^2}} }$ (1)

και $\displaystyle B{P^2} = PM \cdot PT \Leftrightarrow$ $\boxed{PT = \frac{{B{P^2}}}{{PM}}}$ (2)

Από τα όμοια τρίγωνα BPM, BSA,

$\displaystyle \dfrac{{PM}}{x} = \dfrac{{BP}}{{BS}} = \dfrac{{BS}}{{2d}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} PM = \dfrac{{BS \cdot x}}{{2d}}\\ \\ B{S^2} = 2d \cdot BP \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \left\{ \begin{array}{l} PM = \dfrac{{x\sqrt {{x^2} + {d^2}} }}{{2d}}\\ \\ BP = \dfrac{{{x^2} + {d^2}}}{{2d}} \end{array} \right.$

Αντικαθιστώντας στη (2)

$\displaystyle PT = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {d^2}} } \right)}^3}}}{{2dx}},$ απ' όπου βρίσκω με τη βοήθεια παραγώγων ότι

παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{{d\sqrt 2 }}{2}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{P{T_{\min }} = \frac{{3\sqrt 3 d}}{4}}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Το προσέγγισα εντελώς διαφορετικά από τον Γιώργο, αλλά βρίσκω το ίδιο αποτέλεσμα.
Αφού το έχει βρει ο Γιώργος, αυτό αποτελεί εγγύηση ορθότητας και γλυτώνω την επαλήθευση με βοήθεια λογισμικού...

: 13-11-2019 Γεωμετρία.jpg (20.61 KiB) Προβλήθηκε 1485 φορές

Στα

είναι $\displaystyle PK = BK \cdot \varepsilon \varphi \varphi ,\;\;{\rm T}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} \cdot \sigma \varphi \varphi$ , οπότε

$\displaystyle PT = BK\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi } \right) = \frac{{BS}}{2}\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi } \right) =$

$\displaystyle = \frac{d}{{2\sigma \upsilon \nu \varphi }}\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \sigma \varphi \varphi } \right) = \frac{d}{2}\left( {\frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }} + \frac{1}{{\eta \mu \varphi }}} \right) =$

$\displaystyle = \frac{d}{2}\left( {\frac{1}{{\eta \mu \varphi \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }}} \right) = \frac{d}{2}\left( {\frac{1}{{\eta \mu \varphi - \eta {\mu ^3}\varphi }}} \right)$ , με $\displaystyle 0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$

Το

παρουσιάζει ελάχιστο, όταν η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \eta \mu x - \eta {\mu ^3}x,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ λάβει μέγιστη τιμή.

Έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x\left( {1 - 3\eta {\mu ^2}x} \right)$ , που μηδενίζεται όταν $\displaystyle \eta \mu x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ , τιμή για την οποία παρουσιάζει μέγιστο.

Οπότε $\displaystyle P{T_{\min }} = \frac{d}{2}\left( {\frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{9}}}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \cdot d$ .

#4

Θεωρώ καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

( σχήμα) και ας είναι

το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT$ .

Αν $S\left( {2s,0} \right)\,\,\,,\,\,B\left( {0,2b} \right)$ με $0 < s < 2b\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2b = d$ ( θετική σταθερά) θα είναι:

$M\left( {s,b} \right)$ και συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

, $\boxed{\lambda = \frac{s}{b}}$ .

$\boxed{PT:\,\,y - b = \frac{s}{b}\left( {x - s} \right)}$

Για $y = 2b\,\,\,,\,\,T:\,\,\left( {\dfrac{{{b^2} + {s^2}}}{s},2b} \right)$ , ενώ για $x = 0\,\,,\,\,P:\,\,\left( {0,\dfrac{{{b^2} + {s^2}}}{b}} \right)$ ,

Έτσι $\boxed{P{T^2} = f(s) = \frac{{{{\left( {{b^2} + {s^2}} \right)}^3}}}{{{b^2}{s^2}}}}$

: Ελαχιστοποίηση τμήματος_KARKAR_Αναλυτική.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 1466 φορές

Μετασχηματίζω για ευκολία πράξεων : $\left\{ \begin{gathered} {s^2} = x \hfill \\ {b^2} = a \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και έχω αντίστοιχα

$g(x) = \dfrac{{{{\left( {a + x} \right)}^3}}}{{ax}},\,\,g'(x) = \dfrac{{{{\left( {x + a} \right)}^2}\left( {2x - a} \right)}}{{a{x^2}}}$ . Η

παρουσιάζει ελάχιστο για $x = \dfrac{a}{2}$

το $g\left( {\dfrac{a}{2}} \right) = \dfrac{{27a}}{4}$ που λόγω των μετασχηματισμών είναι $\dfrac{{27a}}{4} = \dfrac{{27{b^2}}}{4} = \dfrac{{27{d^2}}}{{16}}$

Οπότε : $\boxed{P{T_{MIN}} = \frac{{\sqrt {27} d}}{4}}$

#5

Υπάρχει ευκολότερος τρόπος για τον υπολογισμό του τελικού τύπου απ΄ότι στην προηγούμενή μου ανάρτηση:

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.Κ.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 1441 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων PTB, BSA

και

παίρνω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} PT = \dfrac{{BP \cdot PS}}{x}\\ \\ BP = \dfrac{{B{S^2}}}{{2d}} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{B{S^2} = {x^2} + {d^2}}$ $\boxed{PT = \frac{{{{(\sqrt {{x^2} + {d^2}} )}^3}}}{{2xd}}}$

Σήμερα το πρωί πρόσεξα ότι η άσκηση είναι σε φάκελο Γυμνασίου. Θα ήθελα να δω μία λύση εντός φακέλου. Πώς μπορούμε να αποφύγουμε την παράγωγο;

KARKAR · #6

Ουουου ! Γιώργο τώρα που το λες το βλέπω κι εγώ . Το θέμα βέβαια είναι για
τον φάκελο των Seniors και παρακαλώ να μεταφερθεί εκεί

Ελαχιστοποίηση τμήματος

Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Μέλη σε σύνδεση