Συναρτησιακή με παράγωγο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσημες

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

για τις οποίες ισχύει

$f(x)=f(\frac{x}{3})+\frac{2}{3}xf'(x)$

για κάθε $x\in \mathbb{R}$

#2

Επαναφορά.

#3

Έχουμε:

$\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}$

Παίρνοντας όρια έχουμε:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\tfrac{x}{3})$

Θα δείξουμε ότι η f'(x)

είναι συνεχής σε κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Προφανώς είναι συνεχής στο

αφού τότε έχουμε $\displaystyle \lim_{h \to 0} f'(h) = \frac{3}{2}f'(0) - \frac{1}{2}f'(0) = f'(0).$ Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεχής σε κάποιο $x \neq 0$ . Τότε υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε για κάθε $\delta > 0$ υπάρχει

με $|x-y| < \delta$ και $|f'(x) - f'(y)| \geqslant \varepsilon$ . Αλλά τότε από Darboux υπάρχει και

με $|x-y'| < \delta$ και $|f'(x) - f'(y')| = \varepsilon$ .

Τότε όμως μπορούμε να βρούμε ακολουθία (x_n)

ώστε $(x_n) \to (x)$ και $f'(x_n) = f'(x) \pm \varepsilon$ . Περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι $f'(x_n) = f'(x) + \varepsilon$ . Τότε όμως (για h = x_n - x

) θα είχαμε ότι το $\displaystyle f'(x) + \varepsilon + \frac{x\varepsilon}{x_n-x}$ συγκλίνει όταν $n \to \infty$ , άτοπο.

Έστω x > 0

και έστω $A = \{y \geqslant 0: f'(y) = f'(x)\}$ . Το

είναι μη κενό και κάτω φραγμένο οπότε έχει κάποιο infimum. Έστω $s = \inf(A)$ . Θα δείξουμε ότι s=0

.

Έχουμε $\displaystyle \frac{f(s) - f(\tfrac{s}{3})}{s - \tfrac{s}{3}} = f'(s).$

Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής f'(s) = f'(t)

για κάποιο $t \in (\tfrac{s}{3},s)$ . Αυτό είναι άτοπο αφού τότε θα είχαμε και $t \in A$ .

Άρα f'(x) = f'(0)

για κάθε

και ομοίως και για κάθε x < 0

. Άρα η

είναι σταθερή και η f(x)

γραμμική.

Τέλος, παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συναρτησιακή.

Υ.Γ. Έγιναν κάποιες διορθώσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 22, 2019 7:45 pm
Έχουμε:

$\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(\tfrac{x+h}{3}) - f(\tfrac{x}{3})}{h} + \frac{2}{3}f'(x+h) + \frac{2x}{3} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}$

Παίρνοντας όρια έχουμε:

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \left[ f'(x+h) + x\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\right] = \frac{3}{2}f'(x) - \frac{1}{2}f'(\tfrac{x}{3})$

Θα δείξουμε ότι η είναι συνεχής σε κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Προφανώς είναι συνεχής στο αφού τότε έχουμε $\displaystyle \lim_{h \to 0} f'(h) = \frac{3}{2}f'(0) - \frac{1}{2}f'(0) = f'(0).$ Έστω λοιπόν ότι δεν είναι συνεχής σε κάποιο $x \neq 0$ . Τότε υπάρχει $\varepsilon>0$ ώστε για κάθε $\delta > 0$ υπάρχει με $|x-y| < \delta$ και $|f'(x) - f'(y)| \geqslant \varepsilon$ . Αλλά τότε από Darboux υπάρχει και με $|x-y'| < \delta$ και $|f'(x) - f'(y')| = \varepsilon$ .

Τότε όμως μπορούμε να βρούμε ακολουθία ώστε $(x_n) \to (x)$ και $f'(x_n) = f'(x) \pm \varepsilon$ . Περνώντας σε μια υπακολουθία μπορούμε να υποθέσουμε ότι $f'(x_n) = f'(x) + \varepsilon$ . Τότε όμως (για ) θα είχαμε ότι το $\displaystyle f'(x) + \varepsilon + \frac{x\varepsilon}{x_n-x}$ συγκλίνει όταν $n \to \infty$ , άτοπο.

Έστω και έστω $A = \{y \geqslant 0: f'(y) = f'(x)\}$ . Το είναι μη κενό και κάτω φραγμένο οπότε έχει κάποιο infimum. Έστω $s = \inf(A)$ . Θα δείξουμε ότι .

Έχουμε $\displaystyle \frac{f(s) - f(\tfrac{s}{3})}{s - \tfrac{s}{3}} = f'(s).$

Άρα από Θεώρημα Μέσης Τιμής για κάποιο $t \in (\tfrac{s}{3},s)$ . Αυτό είναι άτοπο αφού τότε θα είχαμε και $t \in A$ .

Άρα για κάθε και ομοίως και για κάθε . Άρα η είναι σταθερή και η γραμμική.

Τέλος, παρατηρούμε ότι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις ικανοποιούν τη συναρτησιακή.

Υ.Γ. Έγιναν κάποιες διορθώσεις.

Κάποιες παρατηρήσεις.
1)Εχουμε $s\in A$ γιατί το

κλειστό.
(η

συνεχής)

2) Η συνέχεια της

προκύπτει πολύ εύκολα ως εξής :

Για $x\neq 0$
είναι
$\displaystyle f'(x)=\frac{f(x)-f(\frac{x}{3})}{\frac{2}{3}x}$ (1)

συνεχής σαν πηλίκο συνεχών.

Για x=0

κάνουμε το εξής πιο απλό.

Στην (1) το δεξιό μέλος για $x\rightarrow 0$

έχει όριο το f'(0)

.

Αυτό προκύπτει προσθαφερόντας το f(0)

στον αριθμητή και χρησιμοποιώντας ότι το
f'(0)

υπάρχει.

Αρα για $x\rightarrow 0$ το όριο του αριστερού μέλους της (1)

υπάρχει και είναι f'(0)

.

Αρα η

είναι συνεχής στο

#5

Ναι Σταύρο, έχεις δίκιο για το 1. Αυτός είναι άλλωστε ο λόγος που έδειξα τη συνέχεια της

. Για να μπορώ να πω ότι το $\inf(A)$ ανήκει στο

.

Συναρτησιακή με παράγωγο

Συναρτησιακή με παράγωγο

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Re: Συναρτησιακή με παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση