Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#1

Έστω

Λάμπρος Κατσάπας · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 2:32 pm
Έστω δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε:
$\left | a-1 \right |+\left | b-1 \right |=\left | a \right |+\left | b \right |=\left | a+1 \right |+\left | b+1 \right |.$
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\left | a-b \right |$

Βάζοντας στην ευθεία των πραγματικών τους -1,0,1

βλέπουμε ότι η μόνη περίπτωση για να ισχύει η δοσμένη είναι

$a\geq 1$ και $b\leq -1$ ή ανάποδα. Επομένως $\min(|a-b|)=2$ για a=1,b=-1

η ανάποδα.

Σημείωση: Στην εκφώνηση το ''διαφορετικοί πραγματικοί'' μπορεί να παραλειφθεί γιατί είναι άμεσο από τη σχέση που

δίνεται ότι αν υποθέσουμε ότι είναι ίσοι οδηγούμαστε σε άτοπο (δεν ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο ισότητες).

#3

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι κάτι παρόμοιο (ή το ίδιο) με την παρακάτω λύση περιγράφει ο Λάμπρος στην απάντησή του.

Εύκολα δείχνουμε ότι είναι αδύνατο να είναι $\left( {a \ge 0\;\; \wedge \;b \ge 0} \right)\;\;\; \vee \;\;\left( {a \le 0\;\; \wedge \;\;b \le 0} \right)$

: 17-07-2019 Άλγεβρα.jpg (11.56 KiB) Προβλήθηκε 2019 φορές

Έστω

οι εικόνες των αριθμών.

Έστω $b\ge 0, a\le 0$ .

Τότε AN+BN=AO+BO

άρα

ή

, άρα $a \le -1$ .

Επίσης AM+BM=AO+BO

άρα

ή

, άρα $b \ge 1$ .

Οπότε min |a-b| = 2

.

Ομοίως αν $a\ge 0, b\le 0$ .

#4

Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι a,b

είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος

Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί

Πράγματι. Στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852 δεν χρειαζόμαστε ο

να είναι χώρος εσωτερικού γινομένου. Μας αρκεί να έχει norm. Αν έχουμε λοιπόν την παραπάνω σχεση σους μιγαδικούς ουσιαστικά έχουμε μια σχέση στο $\mathbb{R}^2$ αφού ο πολλαπλασιασμός δεν εμφανίζεται πουθενά. Επομένως τα a,b

πρέπει να είναι συγγραμμικά με το

θεωρούμενα όλα σαν διανύσματα. 'Αρα πρόκειται για πραγματικούς και αναγόμαστε στο προηγούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί

Πράγματι. Στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852 δεν χρειαζόμαστε ο να είναι χώρος εσωτερικού γινομένου. Μας αρκεί να έχει norm. Αν έχουμε λοιπόν την παραπάνω σχεση σους μιγαδικούς ουσιαστικά έχουμε μια σχέση στο $\mathbb{R}^2$ αφού ο πολλαπλασιασμός δεν εμφανίζεται πουθενά. Επομένως τα πρέπει να είναι συγγραμμικά με το θεωρούμενα όλα σαν διανύσματα. 'Αρα πρόκειται για πραγματικούς και αναγόμαστε στο προηγούμενο.

Γεια σου Νίκο.
Στους Μιγαδικούς ισχύει γιατί ισχύει στο Επίπεδο.
Όταν έχουμε χώρο με νόρμα δεν ισχύει.
Δες το παράδειγμα που θα δώσω στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:43 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm

cretanman έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί

Πράγματι. Στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852 δεν χρειαζόμαστε ο να είναι χώρος εσωτερικού γινομένου. Μας αρκεί να έχει norm. Αν έχουμε λοιπόν την παραπάνω σχεση σους μιγαδικούς ουσιαστικά έχουμε μια σχέση στο $\mathbb{R}^2$ αφού ο πολλαπλασιασμός δεν εμφανίζεται πουθενά. Επομένως τα πρέπει να είναι συγγραμμικά με το θεωρούμενα όλα σαν διανύσματα. 'Αρα πρόκειται για πραγματικούς και αναγόμαστε στο προηγούμενο.
Γεια σου Νίκο.
Στους Μιγαδικούς ισχύει γιατί ισχύει στο Επίπεδο.
Όταν έχουμε χώρο με νόρμα δεν ισχύει.
Δες το παράδειγμα που θα δώσω στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852

Σταύρο έχεις δίκιο.
Η norm δεν αρκεί. Χρειαζόμαστε το εσωτερικό γινόμενο για να έχουμε την γραμμική ισομετρία. Αντιπαράδειγμα η συνήθης norm και η sup-norm στο επίπεδεο.

Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Μέλη σε σύνδεση