Το ισοσκελές

#1

: Το ισοσκελές.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 2046 φορές

είναι το ύψος,

το περίκεντρο και

το μέσο της πλευράς

οξυγώνιου τριγώνου ABC.

Αν

είναι η προβολή του

στην

να δείξετε ότι MP=MD.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα!

: Το ισοσκελές.PNG (8.96 KiB) Προβλήθηκε 2038 φορές

Υ.Γ Δίνω (εκ των υστέρων ) αιτιολόγηση. Τα τρίγωνα AOB,PMD

είναι όμοια αφού

το ABDP

είναι εγγράψιμο άρα $\widehat{MDP}=\widehat{BAP}$ , το ίδιο και το POMB

οπότε $\widehat{PMB}=\widehat{POB}$ .

Είναι OA=OB=R

επομένως και MP=MD

. Φιλικά , Γιώργος.

#3

: Το ισοσκελές.png (30.33 KiB) Προβλήθηκε 2026 φορές

Τα τετράπλευρα $ABDP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBMO$ είναι εγγράψιμα, ενώ $\widehat {BAD} = \widehat {OAC} = \widehat \theta$ , ως συμπληρώματα ίσων γωνιών .

$\left\{ \begin{gathered} \widehat x = \widehat \theta + \widehat \omega \hfill \\ \widehat y + \widehat \theta = \widehat \xi = \widehat {BAC} = 2\widehat \theta + \widehat \omega \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat x = \widehat y = \widehat \theta + \widehat \omega \Rightarrow MD = MP$

Ορέστης Λιγνός · #4

Καλησπέρα σε όλους!

Μία άλλη λύση.

Έστω

το μέσο του

. Τότε, αφού τα A,B,D,P

είναι ομοκυκλικά, προκύπτει NB=NA=ND=NP

.

Επίσης, είναι $MN \parallel AC$ και επίσης $\angle ADP=\angle ABP=90^\circ-\angle BAO=\angle C=90^\circ-\angle DAC \Rightarrow$
$\angle ADP+\angle DAC=90^\circ \Rightarrow DP \perp AC$ .

Συνεπώς, $DP \perp AC, MN \parallel AC \Rightarrow NM \perp DP$ , και αφού NP=ND

, η

είναι μεσοκάθετος της

, συνεπώς

.

#5

Ας είναι $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ τα αντιδιαμετρικά των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ . Αβίαστα προκύπτουν:

1. το τρίγωνο ZBE

είναι ισοσκελές (διάμεσος και ύψος συμπίπτουν)

2. EC// = 2PM

( Τα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ μέσα των $BC\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$ )

3. Το τετράπλευρο ABDP

είναι εγγράψιμο .( Τα D,P

βλέπουν υπό ορθή γωνία την πλευρά

)

: Το ισοσκελές_oritzin.png (34.21 KiB) Προβλήθηκε 1971 φορές

Έτσι έχω : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{y_1}} = \widehat {{y_2}} \hfill \\ \widehat {{x_1}} = \widehat {{x_2}} = \widehat {{x_3}} = \widehat {{x_4}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {{y_1}} = \widehat {{y_2}} \hfill \\ \widehat {{x_1}} = \widehat {{x_4}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Δηλαδή τα τρίγωνα $ZBE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MPD$ είναι ισογώνια κι αφού το ZBE

είναι ισοσκελές , κορυφής

, θα είναι ισοσκελές και το MPD

,κορυφής

Altrian · #6

Καλησπέρα σε όλους,
ABDP

εγγράψιμο άρα $\angle PDM=\angle OAB=\angle OBA$ . Επίσης PBMO

εγγράψιμο άρα $\angle MPO=\angle OBM$

Αν περιστρέψουμε την $\angle AOB$ γύρω από το

δεξιόστροφα κατά μια γωνία ίση με $\angle MPO$ θα βρεθεί με πλευρές παράλληλες με την $\angle PMD\Rightarrow \angle AOB=\angle PMD$ .

Τώρα το $\bigtriangleup MPD$ είναι ισογώνιο με το ισοσκελές $\angle AOB$ άρα είναι και αυτό ισσκελές δηλ. PM=MD

#7

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Ας δώσω και τη δική μου.

: Το ισοσκελές.β.png (19.45 KiB) Προβλήθηκε 1904 φορές

Είναι $\displaystyle B\widehat AD = O\widehat AC.$ Έστω ότι το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

στο

Το

είναι προφανώς εγγράψιμο, άρα BD=PE,

κι επειδή

θα είναι και $\boxed{MP=MD}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 05, 2019 10:14 am
Το ισοσκελές.png
είναι το ύψος, το περίκεντρο και το μέσο της πλευράς οξυγώνιου τριγώνου

Αν είναι η προβολή του στην να δείξετε ότι

Μια λύση ακόμη..

Η παράλληλη από το $\displaystyle C$ προς την $\displaystyle BP$ τέμνει την κάθετη στην $\displaystyle DP$ στο $\displaystyle D$ στο σημείο $\displaystyle Q$ .

Επειδή $\displaystyle PB//CQ$ και $\displaystyle M$ μέσον της $\displaystyle BC$ ,η $\displaystyle PQ$ περνά από το $\displaystyle M$

Λόγω και των εγγράψιμων $\displaystyle ABDP,ADFC,PDQF$ ,οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, συνεπώς

στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle PDQ$ θα είναι $\displaystyle \boxed{DM = MQ = MP}$

: ισοσκελές.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 1847 φορές

Το ισοσκελές

Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Re: Το ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση