Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων 2017 (4η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

[i]Ολυμπιάδα Μαθηματικού Σχολείου Νέων Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα της 4ης τάξης, Νοέμβριος 2017.[/i]

[i]Βασική αίθουσα[/i]


[b]1.[/b] Ο Τζέρι έγραψε σε μια λίστα χαρτί ένα παλίνδρομο γραμμάτων (διαβάζεται το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά). Ο Τομ περνώντας σαν σίφουνας από δίπλα το έσκισε με τα νύχια του σε πέντε κομμάτια. Τα κομμάτια αυτά ανακατεύθηκαν και προέκυψε: . Φέρτε παράδειγμα του αρχικού παλίνδρομου.


[b]2.[/b] Οι νάνοι πήγαν για δουλειά και η Χιονάτη πλήττει. Έφτιαξε πάνω στο τραπέζι ένα σωρό από βότσαλα. Κάθε λεπτό η Χιονάτη χωρίζει έναν από τους σωρούς που έχει σε δυο και ύστερα προσθέτει σε έναν από αυτούς ένα καινούργιο βότσαλο. Ύστερα από κάποιο χρόνο είχε εφτά σωρούς, οι οποίοι είχαν ίδιο αριθμό βότσαλων. Πόσο βότσαλα προέκυψαν σε κάθε σωρό;


[b]3.[/b] Δίνεται ένα χάρτινο τετράγωνο κελιών το οποίο μπορούμε να διπλώσουμε κατά μήκος των πλευρών ή των διαγώνιων των κελιών, διαφορετική δίπλωση δεν επιτρέπεται. Μπορεί άραγε με τέτοιες διπλώσεις να προκύψει δωδεκάγωνο;


[b]4.[/b] Σε μια πόλη ο τρόπος πληρωμής των διαδρομών του μετρό με κάρτα ακολουθεί το εξής σχήμα: η πρώτη διαδρομή κοστίζει 50 λεπτά και κάθε επόμενη κοστίζει, είτε όσο κοστίζει η προηγούμενη, είτε κατά ένα λεπτό λιγότερο. Ο Πέτρος ξόδεψε για μερικές διαδρομές λεπτά, ύστερα για μερικές ακόμη διαδρομές ξόδεψε άλλα λεπτά. Πόσες διαδρομές έκανε;


[i]Καταληκτική αίθουσα[/i]


[b]5.[/b] Σε ένα κυκλικό τραπέζι βρέθηκαν εφτά άνθρωποι, ο καθένας εκ των οποίων είναι είτε καλός που λέει πάντα την αλήθεια, είτε κακός που λέει πάντα ψέματα, είτε επισκέπτης που λέει εναλλάξ αλήθεια και ψέματα.
Ο πρώτος και ο δεύτερος ταυτόχρονα αναφώνησαν: «μεταξύ μας υπάρχει ακριβώς ψεύτης»,
Ο δεύτερος και ο τρίτος: «μεταξύ μας υπάρχουν ακριβώς ψεύτες»
Ο τρίτος και ο τέταρτος: «μεταξύ μας υπάρχουν ακριβώς ψεύτες»
…
Ο έκτος και ο έβδομος: «μεταξύ μας υπάρχουν ακριβώς ψεύτες»
Ο έβδομος και ο πρώτος: «μεταξύ μας υπάρχουν ακριβώς ψεύτες»

Ποιος είναι ποιος μεταξύ των;


[b]6.[/b] Όταν γεννήθηκε ένα παιδί οι γονείς του δεν είχαν εκπληρώσει το έτος της ηλικίας τους αλλά ήταν ενήλικες (είχαν εκπληρώσει το έτος της ηλικίας τους). Όταν το παιδί εκπλήρωσε τα δυο έτη, η ηλικία ακριβώς ενός εκ των γονέων του διαιρούταν με το δυο. Όταν έγινε χρονών, η ηλικία ακριβώς ενός εκ των γονέων του διαιρούταν με το , και ου το καθεξής. Πόσα χρόνια άραγε μπορεί να συνεχιστεί ένας τέτοιος κανόνας;


[b]7.[/b] Σε μια εταιρία απασχολούνται μερικοί εργαζόμενοι με συνολικό μηνιαίο μισθό ευρώ. Ο καλός μάνατζερ προσφέρει σε όλους όσους έχουν μισθό έως ευρώ, να τον τριπλασιάσει και σε όλους τους υπόλοιπους να τον αυξήσει κατά ευρώ. Τότε ο συνολικός μηνιαίος μισθός θα γίνει ίσος με ευρώ. Ο κακός μάνατζερ προτείνει σε όλους, όσους έχουν μισθό πάνω από ευρώ, να τον μειώσει στα ευρώ και τους υπόλοιπους να μην αλλάξει τον μισθό τους. Ποιος θα είναι ο συνολικός μηνιαίος μισθός σε αυτή την περίπτωση;


[url=http://yumsh.ru/cms/]Πηγή[/url]

[Mihalis_Lambrou]

2. Οι νάνοι πήγαν για δουλειά και η Χιονάτη πλήττει. Έφτιαξε πάνω στο τραπέζι ένα σωρό από βότσαλα. Κάθε λεπτό η Χιονάτη χωρίζει έναν από τους σωρούς που έχει σε δυο και ύστερα προσθέτει σε έναν από αυτούς ένα καινούργιο βότσαλο. Ύστερα από κάποιο χρόνο είχε εφτά σωρούς, οι οποίοι είχαν ίδιο αριθμό βότσαλων. Πόσο βότσαλα προέκυψαν σε κάθε σωρό;

Ας κάνω την αρχή με ένα ευκολάκι.

Αφού έχουμε στο τέλος σωρούς (ισοδύναμα, έγιναν έξι χωρισμοί σωρών) σημαίνει ότι προστέθηκαν συνολικά βότσαλα. Δηλαδή τα βότσαλα στο τέλος ήταν και άρα έχουν από βότσαλα το καθένα. Τελειώσαμε.

Αν θέλουμε να δούμε και έναν τρόπο που δείχνει ότι το σενάριο είναι εφικτό, να μία εκδοχή: Μετά από κάθε βήμα (και αφού προστεθεί το βότσαλο) έχουμε

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

7. Σε μια εταιρία απασχολούνται μερικοί εργαζόμενοι με συνολικό μηνιαίο μισθό ευρώ. Ο καλός μάνατζερ προσφέρει σε όλους όσους έχουν μισθό έως ευρώ, να τον τριπλασιάσει και σε όλους τους υπόλοιπους να τον αυξήσει κατά ευρώ. Τότε ο συνολικός μηνιαίος μισθός θα γίνει ίσος με ευρώ. Ο κακός μάνατζερ προτείνει σε όλους, όσους έχουν μισθό πάνω από ευρώ, να τον μειώσει στα ευρώ και τους υπόλοιπους να μην αλλάξει τον μισθό τους. Ποιος θα είναι ο συνολικός μηνιαίος μισθός σε αυτή την περίπτωση;

Έστω το άθροισμα των αρχικών μισθών όσων είχα μισθό μικρότερο ή ίσο του και μεγαλύτερο του αντίστοιχα.Επίσης ας είναι το πλήθος των εργαζομένων με μισθό μεγαλύτερο του .
Στην περίπτωση του κακού μάνατζερ το άθροισμα των μισθών όνων των εργαζομένων είναι .

Στην περίπτωση του καλού μάνατζερ είναι:

Δηλαδή το άθροισμα των μισθών είναι .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

6. Όταν γεννήθηκε ένα παιδί οι γονείς του δεν είχαν εκπληρώσει το έτος της ηλικίας τους αλλά ήταν ενήλικες (είχαν εκπληρώσει το έτος της ηλικίας τους). Όταν το παιδί εκπλήρωσε τα δυο έτη, η ηλικία ακριβώς ενός εκ των γονέων του διαιρούταν με το δυο. Όταν έγινε χρονών, η ηλικία ακριβώς ενός εκ των γονέων του διαιρούταν με το , και ου το καθεξής. Πόσα χρόνια άραγε μπορεί να συνεχιστεί ένας τέτοιος κανόνας;

Έστω οι ηλικίες των γονέων και η ηλικία του παιδιού.

Πρέπει για κάθε να είναι αφού όταν το παιδί έχει ηλικία οι γονείς έχουν αντίστοιχα.Έτσι για κάθε πρέπει οπότε
Αφού το παίρνει τιμές θα βρούμε το μέγιστο .
Προφανώς επειδή η είνα για κάθε πρέπει

Για παράδειγμα οι ηλικίες

[Mihalis_Lambrou]

1. Ο Τζέρι έγραψε σε μια λίστα χαρτί ένα παλίνδρομο γραμμάτων (διαβάζεται το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά). Ο Τομ περνώντας σαν σίφουνας από δίπλα το έσκισε με τα νύχια του σε πέντε κομμάτια. Τα κομμάτια αυτά ανακατεύθηκαν και προέκυψε: . Φέρτε παράδειγμα του αρχικού παλίνδρομου.