Όριο ακολουθίας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

συνάρτηση με
f(0)=0

και η

είναι παραγωγίσημη στο

.

Θέτουμε $a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})$

Βρείτε το $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}$

μέχρι 10-4-2019

sot arm · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2019 2:58 pm
Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

συνάρτηση με
και η
είναι παραγωγίσημη στο .

Θέτουμε $a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})$

Βρείτε το $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}$

μέχρι 10-4-2019

Γεια σας κύριε Σταύρο, ξεκινάμε με το εξής:
Αφού

παραγωγίσημη στο

υπάρχει συνάρτηση $f^{*}(x)$ συνεχής στο 0 και:
$\displaystyle{f^{*}(x)\cdot x=f(x)-f(0) }$ .

Από τα παραπάνω ( f(0)=0)

έχουμε:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})=\sum_{k=1}^{n}f^{*}(\frac{k}{n^{2}})\cdot\frac{k}{n^{2}}}$

Έστω ε>0 τυχόν.

Από την συνέχεια της $f^{*}$ στο 0 υπάρχει $n_{0}$ ώστε για κάθε $n\geq n_{0}$ και $k\leq n$ :
$\displaystyle{f{'}(0)+2\varepsilon <f^{*}(\frac{k}{n^{2}})<f{'}(0)+2\varepsilon \Rightarrow (f{'}(0)-2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}<a_{n}<(f{'}(0)+2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}}$

Ο όρος:
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}\rightarrow \int_{0}^{1}x=\frac{1}{2}}$

Άρα για

αρκετά μεγάλο:
$\displaystyle{\frac{f{'}(0)}{2}-\varepsilon <a_{n}<\frac{f{'}(0)}{2}+\varepsilon }$

και αφού το ε ήταν τυχόν, έπεται:
$\displaystyle{a_{n}\rightarrow \frac{f{'}(0)}{2}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

sot arm έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2019 2:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2019 2:58 pm
Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

συνάρτηση με
και η
είναι παραγωγίσημη στο .

Θέτουμε $a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})$

Βρείτε το $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}$

μέχρι 10-4-2019
Γεια σας κύριε Σταύρο, ξεκινάμε με το εξής:
Αφού παραγωγίσημη στο υπάρχει συνάρτηση $f^{*}(x)$ συνεχής στο 0 και:
$\displaystyle{f^{*}(x)\cdot x=f(x)-f(0) }$ .

Από τα παραπάνω ( έχουμε:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})=\sum_{k=1}^{n}f^{*}(\frac{k}{n^{2}})\cdot\frac{k}{n^{2}}}$

Έστω ε>0 τυχόν.

Από την συνέχεια της $f^{*}$ στο 0 υπάρχει $n_{0}$ ώστε για κάθε $n\geq n_{0}$ και $k\leq n$ :
$\displaystyle{f{'}(0)+2\varepsilon <f^{*}(\frac{k}{n^{2}})<f{'}(0)+2\varepsilon \Rightarrow (f{'}(0)-2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}<a_{n}<(f{'}(0)+2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}}$

Ο όρος:
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}\rightarrow \int_{0}^{1}x=\frac{1}{2}}$

Άρα για αρκετά μεγάλο:
$\displaystyle{\frac{f{'}(0)}{2}-\varepsilon <a_{n}<\frac{f{'}(0)}{2}+\varepsilon }$

και αφού το ε ήταν τυχόν, έπεται:
$\displaystyle{a_{n}\rightarrow \frac{f{'}(0)}{2}}$

Πολύ ωραία Σωτήρη.

(Είναι η άσκηση 26-43 στον Απειροστικός Λογισμός Τόμος ΙΙ
Σ.Νεγρεπόντης Σ.Γιωτόπουλος Ε.Γιαννακούλιας )
μόνο που εκεί έχει επιπλέον προυποθέσεις.

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση