Απορία στο Θεώρημα Fermat

Soniram89 · #1

Καλημέρα σας,έχω μπερδευτεί στο παρακάτω κομμάτι της απόδειξης του Θεωρήματος Fermat.

Αποδεικνύεται ότι:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}+} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0=f'{(x_{0})}$

$\lim_{x\rightarrow x_{0}-} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0=f'{(x_{0})}$

$\Rightarrow f'(x_{0})=0$

Για το λόγο : $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ γνωρίζουμε $f(x)\leq f(x_0) \forall x\epsilon (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ με το ίσον να ισχύει μόνο για x=x_0

(Στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι το f(x_0)

είναι τοπικό μέγιστο.)

Εφόσον στο όριο δουλεύουμε για $x\neq x_0$

δεν θα έπρεπε να ισχύει?

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ για x<x_0

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ για x>x_0

και το $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}= (\frac{0}{0})$ Απροσδιόριστη μορφή.

Ευχαριστώ πολύ!!!

#2

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:07 pm
Καλημέρα σας,έχω μπερδευτεί στο παρακάτω κομμάτι της απόδειξης του Θεωρήματος Fermat.

...και το $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}= (\frac{0}{0})$ Απροσδιόριστη μορφή.

Ευχαριστώ πολύ!!!

Καλημέρα.

Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x_0

είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f'({x_0})$

Soniram89 · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση.

Το ότι είναι παραγωγίσιμη σημαίνει:

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f'({x_0)=\lambda \epsilon \mathbb{R}}$

γιατι $\lambda =0$ ? αφού ισχύουν γνήσιες ανισότητες για την παράσταση $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ εκατέρωθεν του $x_{0}$ , εκεί έχω κολλήσει

#4

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:25 pm
Ευχαριστώ για την απάντηση.

Το ότι είναι παραγωγίσιμη σημαίνει:

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f'({x_0)=\lambda \epsilon \mathbb{R}}$

γιατι $\lambda =0$ ? αφού ισχύουν γνήσιες ανισότητες για την παράσταση $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ εκατέρωθεν του $x_{0}$ , εκεί έχω κολλήσει

Δεν είναι γνήσιες οι ανισότητες αφού λόγω του τοπικού μέγιστου είναι $f(x)\le f(x_0).$

Soniram89 · #5

$f(x)\leq f(x_0) \forall x\epsilon (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ με το ίσον να ισχύει μόνο για x=x_0

(Στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι το f(x_0)

είναι τοπικό μέγιστο.)

Αν $x\neq x_{0}$ δεν ισχύει $f(x)<f(x_{0})$ ?

Στο όριο όμως δεν θα ακουμπήσουμε ποτέ το $x_{0}$ ..

Al.Koutsouridis · #6

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:41 pm
$f(x)\leq f(x_0) \forall x\epsilon (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ με το ίσον να ισχύει μόνο για (Στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι το είναι τοπικό μέγιστο.)

Αν $x\neq x_{0}$ δεν ισχύει $f(x)<f(x_{0})$ ?

Στο όριο όμως δεν θα ακουμπήσουμε ποτέ το $x_{0}$ ..

Όχι απαραίτητα. Η συνάρτηση μπορεί για παράδειγμα να είναι σταθερή στο εν λόγο διάστημα.

Soniram89 · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:56 pm

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:41 pm
$f(x)\leq f(x_0) \forall x\epsilon (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ με το ίσον να ισχύει μόνο για (Στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι το είναι τοπικό μέγιστο.)

Αν $x\neq x_{0}$ δεν ισχύει $f(x)<f(x_{0})$ ?

Στο όριο όμως δεν θα ακουμπήσουμε ποτέ το $x_{0}$ ..
Όχι απαραίτητα. Η συνάρτηση μπορεί για παράδειγμα να είναι σταθερή στο εν λόγο διάστημα.

Αυτό έψαχνα!!!! Χίλια ευχαριστώ....

KARKAR · #8

Νομίζω ότι η αιτία της απορίας βρίσκεται αλλού . Ο λόγος $\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ , είναι πιθανόν να είναι

γνήσια θετικός για $x\neq x_{0}$ , το όριο όμως : $\lim\limits_{{x\rightarrow x_{0}}} {\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ , μπορεί να ισούται με

.

Al.Koutsouridis · #9

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:57 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:56 pm

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:41 pm
$f(x)\leq f(x_0) \forall x\epsilon (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ με το ίσον να ισχύει μόνο για (Στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι το είναι τοπικό μέγιστο.)

Αν $x\neq x_{0}$ δεν ισχύει $f(x)<f(x_{0})$ ?

Στο όριο όμως δεν θα ακουμπήσουμε ποτέ το $x_{0}$ ..
Όχι απαραίτητα. Η συνάρτηση μπορεί για παράδειγμα να είναι σταθερή στο εν λόγο διάστημα.
Αυτό έψαχνα!!!! Χίλια ευχαριστώ....

Το παραπάνω είναι απλά παράδειγμα για πιστούμε στην αλήθεια του θεωρήματος.

Βέβαι εδώ να σημειώσουμε ότι η απορία σου είναι εύλογη ακόμη και αν $f(x)\leq f(x_0) \forall x\epsilon (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ με το ίσον να ισχύει μόνο για x=x_0

δηλαδή δεν είναι σταθερή.

Σε αυτή την περίπτωση το θεώρημα πάλι ισχύει λόγο του θεωρήματος 2 του κεφαλαίου των ιδιοτήτων των ορίων:

Αν οι συναρτήσεις έχουν όριο κοντά στο $x_{0}$ και ισχύει $h(x) \leq g(x)$ κοντά στο $x_{0}$ , τότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h(x) \leq \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)$ .

Στην ουσία χρησιμοποιείται αυτό το θεώρημα. Η συνάρτησή σου h(x)

σε αυτή την περίπτωση είναι

$h(x)=\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$

g(x)=0

ταυτοτικά

κοντά στο $x_{0}$ είναι $h(x) \leq g(x)$ , οπότε και $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h(x) \leq \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) \Rightarrow f^{\prime}(x_{0}) \leq 0$ .

Επίσης θεώρησε για παράδειγμα την συνάρτηση f(x)=x

, για

. Παρόλο που η f(x)

είναι αρνητική σε όλο το πεδίο ορισμού της, το όριο του

τείνοντος στο μηδέν είναι μηδέν και όχι ένας αρνητικός αριθμός.

Για την πλήρη κατανόηση του θεωρήματος του Fermat πιστεύω χρειάζονται η έννοια (ορισμός) του ορίου, της συνέχειας και οι αποδείξεις των παραπάνω θεωρήμάτων. Το σχολικό βιβλίο τα προσεγγίζει διαισθητικά και στην ουσία το εν λόγο θεώρημα είναι ένα εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιειθεί για την επίλυση προβλημάτων.

Edit: Με πρόλαβε ο κ.Θανάσης (KARKAR) το αφήνω για το κόπο.

#10

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 04, 2019 12:25 pm
Ευχαριστώ για την απάντηση.

Το ότι είναι παραγωγίσιμη σημαίνει:

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f'({x_0)=\lambda \epsilon \mathbb{R}}$

γιατι $\lambda =0$ ? αφού ισχύουν γνήσιες ανισότητες για την παράσταση $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ εκατέρωθεν του $x_{0}$ , εκεί έχω κολλήσει

Ας πάρουμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = {(x - {x_0})^2}.$ Τότε:

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \frac{{{{(x - {x_0})}^2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } (x - {x_0}) = 0$

Αλλά, για x>x_0

είναι $\displaystyle \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = x - {x_0} > 0$

Soniram89 · #11

Πραγματικά σας ευχαριστώ πολύ όλους όσους ασχοληθήκατε, μου το ξεκαθαρίσατε πλήρως...

Απορία στο Θεώρημα Fermat

Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Re: Απορία στο Θεώρημα Fermat

Μέλη σε σύνδεση