Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Soniram89 · #1

Θεώρημα σχολικού βιβλίου σελ 144

Έστω μία συνάρτηση

παραγωγίσιμη σ'ένα διάστημα (a,b)

με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_{0}$ , στο οποίο όμως η

είναι συνεχής.

iii) Αν η {f}'

διατηρεί πρόσημο στο $(a,x_{0})\cup (x_{0},b)$ , τότε το $f(x_{0})$ δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Απόδειξη σχολικού:

συνεχής στο $(a,x_{0}]$ ,

παραγωγίσιμη στο $(a,x_{0})$ και {f(x)}'>0

, $\forall x\epsilon (a,x_{0})$ (όπως έχει θεωρήσει) $\Rightarrow$

γν. αύξουσα στο $(a,x_{0}]$ .Τα ίδια και για την

στο $[x_{0},b)$ .

Μετά συνεχίζει ... Επομένως για $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2})$ . Άρα το $f(x_{0})$ όχι τοπικό ακρότατο.

Οι απορίες μου είναι οι εξής:
1)Τα $x_{1},x_{2}$ που βρίσκονται?
2)Από ποιό θεώρημα προκύπτει αυτή η συνεπαγωγή: $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ ισχύει $f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2})$ ?
3)Απο πότε απαγορεύεται κάποιο τοπικό μέγιστο-ελάχιστο να είναι μικρότερο-μεγαλύτερο από κάποια άλλη τιμή της

? Αφού ο ορισμός μας λέει για $\delta >0$ και περιοχή $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ : $f(x)\leqslant f(x_{0})$ , $f(x)\geq f(x_{0})$

Ευχαριστώ πολύ!!!

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

Soniram89 έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 23, 2019 7:54 pm
Θεώρημα σχολικού βιβλίου σελ 144

Έστω μία συνάρτηση παραγωγίσιμη σ'ένα διάστημα με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_{0}$ , στο οποίο όμως η είναι συνεχής.

iii) Αν η διατηρεί πρόσημο στο $(a,x_{0})\cup (x_{0},b)$ , τότε το $f(x_{0})$ δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Απόδειξη σχολικού: συνεχής στο $(a,x_{0}]$ , παραγωγίσιμη στο $(a,x_{0})$ και , $\forall x\epsilon (a,x_{0})$ (όπως έχει θεωρήσει) $\Rightarrow$ γν. αύξουσα στο $(a,x_{0}]$ .Τα ίδια και για την στο $[x_{0},b)$ .

Μετά συνεχίζει ... Επομένως για $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ $\Rightarrow$ $f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2})$ . Άρα το $f(x_{0})$ όχι τοπικό ακρότατο.

Οι απορίες μου είναι οι εξής:
1)Τα $x_{1},x_{2}$ που βρίσκονται?
2)Από ποιό θεώρημα προκύπτει αυτή η συνεπαγωγή: $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ ισχύει $f(x_{1})<f(x_{0})<f(x_{2})$ ?
3)Απο πότε απαγορεύεται κάποιο τοπικό μέγιστο να είναι μικρότερο από κάποια άλλη τιμή της ? Αφού ο ορισμός μας λέει για $\delta >0$ και περιοχή $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ : $f(x)\leqslant f(x_{0})$

Ευχαριστώ πολύ!!!

1. $x_1 \in (a,x_0)$ και $x_2 \in (x_0,b)$

2. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης.

3. Το πρώτο που γράφεις γενικά δεν απαγορεύεται , αλλά δεν έχει σχέση με τα προηγούμενα.

Soniram89 · #3

NIZ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 23, 2019 8:10 pm

1. $x_1 \in (a,x_0)$ και $x_2 \in (x_0,b)$

2. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης.

3. Το πρώτο που γράφεις γενικά δεν απαγορεύεται , αλλά δεν έχει σχέση με τα προηγούμενα.

Ναι αλλά ο ορισμός μας μιλάει για τυχαία x_1

,

εδώ έχει γίνει επιλογή εκατέρωθεν του x_0

. Οι άλλες περιπτώσεις που ελέγχονται?

Πως δεν έχει σχέση, αφού από τον τελευταίο ισχυρισμό συμπεραίνει ότι δεν είναι τοπικό ακρότατο.

Soniram89 · #4

Ναι τώρα μόλις κατάλαβα γιατί γίνεται αυτή η επιλογή δεξιά και αριστερά του x_0

προφανώς γιατί αυτό το κρίσιμο σημείο θέλουμε να χαρακτηρίσουμε, αλλά η τελευταία μου απορία ακόμα παραμένει. Γιατί δηλαδή η τελευταία ανισότητα μας οδηγεί σε αποκλεισμό του f(x_0)

από θέση τοπικού ακροτάτου.

Soniram89 · #5

Νομίζω ότι το ξεκαθάρισα τελείως.Δεν θα έπρεπε όμως κάπου να αναφέρει ότι επιλέξουμε "πολύ κοντά" τα x_1

,

στο

??

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #6

Μα για να είναι το f(x_0)

τοπικό ακρότατο , δεν θα έπρεπε να υπάρχει περιοχή με κέντρο το x_0

στην οποία να ισχύει ότι
$f(x_0)\leq f(x)$ ( ή $f(x_0)\geq f(x)$ ) , για κάθε

της περιοχής αυτής ;

Soniram89 · #7

NIZ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 23, 2019 8:40 pm
Μα για να είναι το τοπικό ακρότατο , δεν θα έπρεπε να υπάρχει περιοχή με κέντρο το στην οποία να ισχύει ότι
$f(x_0)\leq f(x)$ ( ή $f(x_0)\geq f(x)$ ) , για κάθε της περιοχής αυτής ;

Ναι σωστά, όπου και να βρίσκονται τα x_1

,

δεν μας ενδιαφέρει λόγω της μονοτονίας της

σε καθένα απο τα διαστήματα, επομένως σε καμία περίπτωση δεν υπάρχει η ζητούμενη περιοχή: $f(x_0)\leq f(x)$ ή $f(x_0)\geq f(x)$ .

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια!!!

Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Re: Απορία σε απόδειξη θεωρήματος

Μέλη σε σύνδεση