ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

#261

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 2:33 pm
Άσκηση 91
Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους;

Το τελευταίο ψηφίο το επιλέγουμε με

τρόπους. Με τα υπόλοιπα

ψηφία επιλέγουμε

αριθμούς με $\dbinom{9}{4}$ τρόπους και για κάθε μία από αυτές τις

-άδες υπάρχει μόνος ένας τρόπος για να βάλουμε τα ψηφία σε φθίνουσα σειρά και να φτιάξουμε έναν

-ψήφιο αριθμό με τις προϋποθέσεις της εκφώνησης. Συνολικά υπάρχουν λοιπόν $10\cdot\dbinom{9}{4}$ τέτοιοι

-ψήφιοι.

Αλέξανδρος

#262

Άσκηση 97
Οι θετικοί ακέραιοι a,b,

και

επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα, με επανάθεση, από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2010 \}.$
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός abc + ab + a

να διαιρείται με το

;

Άσκηση 98
Τρεις κόκκινοι βόλοι, δύο άσπροι και ένας μπλε είναι τοποθετημένοι τυχαία στη σειρά.
Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχουν διαδοχικοί βόλοι ίδιου χρώματος;

Άσκηση 99
Πόσα πολλαπλάσια του 2013 έχουν ακριβώς 2013 διαιρέτες;
viewtopic.php?f=109&t=55600

#263

cretanman έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 12:02 am

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 2:33 pm
Άσκηση 91
Πόσοι διαφορετικοί πενταψήφιοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που το καθένα από τα ψηφία τους, εκτός του τελευταίου, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του επόμενου ψηφίου τους;
Το τελευταίο ψηφίο το επιλέγουμε με τρόπους. Με τα υπόλοιπα ψηφία επιλέγουμε αριθμούς με $\dbinom{9}{4}$ τρόπους και για κάθε μία από αυτές τις -άδες υπάρχει μόνος ένας τρόπος για να βάλουμε τα ψηφία σε φθίνουσα σειρά και να φτιάξουμε έναν -ψήφιο αριθμό με τις προϋποθέσεις της εκφώνησης. Συνολικά υπάρχουν λοιπόν $10\cdot\dbinom{9}{4}$ τέτοιοι -ψήφιοι.

Αλέξανδρος

Αλέξανδρε, αν καταλαβαίνω σωστά την εκφώνηση, τα ψηφία τα διαβάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά οπότε και τα υπόλοιπα 4 πρέπει να μπουν σε αύξουσα σειρά.

Αυτό παίζει ρόλο διότι πρέπει να αγνοήσουμε τους αριθμούς που ξεκινούν από

. Μα παρόμοιο σκεπτικό, αφού έχει επιλεγεί ήδη και το

, υπάρχουν $\binom{8}{3}$ τέτοιοι. Συνολικά λοιπόν υπάρχουν $10 \cdot \left[\binom{9}{4} - \binom{8}{3}\right] = 700$ τέτοιοι αριθμοί.

#264

socrates έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 1:53 am
Άσκηση 88
Επιλέγουμε τυχαία πέντε διαφορετικούς ανά δύο ακέραιους από το σύνολο $\{1,2, ..., 20.\}$
Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν δύο διαδοχικοί αριθμοί ανάμεσα στους πέντε που επιλέξαμε;
https://brilliant.org/problems/come-and-see-it/

Υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ υποσυνόλων του $\{1,2, \ldots, 20\}$ μεγέθους

χωρίς διαδοχικούς αριθμούς και υποσυνόλων του $\{1,2,\ldots,16\}$ μεγέθους

. Η αντιστοιχία δίνεται ως εξής: $\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\leftrightarrow \{x_1,x_2-1,x_3-2,x_4-3,x_5-4\}$ όπου υποθέσαμε ότι x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5

.

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\displaystyle 1 - \frac{\binom{16}{5}}{\binom{20}{5}} = 1 - \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16} = 1-\frac{91}{323} = \frac{232}{323}$

#265

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:18 am
Άσκηση 89
O Α επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $\{0,1\}.$
O Β επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $\{0,1,2\}.$
O C επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $\{0,1,2,3\}.$
O D επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $\{0,1,2,3,4\}.$
O E επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο $\{0,1,2,3,4,5\}.$

Ποια η πιθανότητα να ισχύει $a\leq b\leq c\leq d\leq e;$
https://brilliant.org/problems/random-p ... so-random/

Προφανώς, αγνοώντας την συνθήκη $a \leqslant b \leqslant \cdots \leqslant e$ , έχουμε 6! = 720

επιλογές. Για να βρούμε πόσες από αυτές είναι αποδεκτές γράφουμε T(n,k)

για το πλήθος των «λέξεων» $A_1A_2\cdots A_n$ όπου $A_i \in \{0,1,\ldots,i\}, A_1 \leqslant \cdots \leqslant A_n$ και A_n = k

.

Είναι άμεσο ότι $T(n,k) = T(n-1,0) + T(n-1,1) + \cdots + T(n-1,k)$ . Οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε αρκετά από τα T(n,k)

με το ακόλουθο πινακάκι:

$\displaystyle \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} k/n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & & 2 & 5 & 9 & 14\\ 3 & & & 5 & 14 & 28 \\ 4 & & & & 14 & 42 \\ 5 & & & & & 42 \end{tabular}$

Αυτό κατασκευάζεται στήλη στήλη όπου κάθε αριθμός μια στήλη ισούται με το άθροισμα όλων των αριθμών της διπλανής από αριστερά στήλης που βρίσκονται στην ίδια σειρά ή πιο πάνω.

Μας ενδιαφέρει το $T(5,1) + \cdots + T(5,5) = 1+5+\cdots+42 = 132$ .

Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με $\displaystyle \frac{132}{720} = \frac{11}{60}.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#266

Άσκηση 100
Τρεις διαφορετικές κορυφές ενός κύβου επιλέγονται στην τύχη.
Ποια η πιθανότητα το επίπεδο που ορίζουν οι τρεις αυτές κορυφές να περιέχει σημεία στο εσωτερικό του κύβου;

Άσκηση 101
Οι ακέραιοι

,

και

, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο $\{0,1,2,3,\dots,2007 \}$ .
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός ad - bc

να είναι άρτιος;

Άσκηση 102
Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2006 \}.$
Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5;

#267

socrates έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm
Άσκηση 101
Οι ακέραιοι ,, και , όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο $\{0,1,2,3,\dots,2007 \}$ .
Ποια η πιθανότητα ο αριθμός να είναι άρτιος;

Για να είναι ο αριθμός ad - bc

άρτιος, πρέπει οι αριθμοί

και

να είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.
Η πιθανότητα ο

να είναι περιττός είναι ίση με $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ και άρα η πιθανότητα ο

να είναι άρτιος είναι ίση με $\displaystyle \frac{3}{4}.$
Έτσι, η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με $\displaystyle \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \boxed{\frac{5}{8}}.$

#268

socrates έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 9:30 pm
Άσκηση 102
Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2006 \}.$
Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5;

Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης των αριθμών με το

είναι οι αριθμοί 0,1,2,3,4

. Αφού επιλέγουμε

αριθμούς, δύο από αυτούς θα αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι με το

, άρα η διαφορά τους θα διαιρείται με το

. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\boxed{1}$ .

#269

Άσκηση 103
Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: $\displaystyle A = \overline{xxxabc} =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c$ όπου x,a,b,c

ψηφία με $x\neq 0,$ διαιρούνται με το 37.

Άσκηση 104
Οι πραγματικοί αριθμοί

και

επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το διάστημα (0,1)

. Ποια η πιθανότητα να ισχύει $\lfloor \log_2{x} \rfloor=\lfloor \log_2{y} \rfloor$ ;

Άσκηση 105
Ρίχνουμε δώδεκα τίμια ζάρια. Ποια η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που φέραμε να είναι πρώτος;

Xriiiiistos · #270

Άσκηση 106

Ποιαν η πιθανότητα αν πάρουμε 3 σημεία στην περιφέρεια ενός κύκλου το τρίγωνο που θα ορίζουν τα σημεία αυτά να περιέχουν το κέντρο του κύκλου;

Άσκηση 107

αν x,y,z

θετικοί ακέραιοι ποιαν η πιθανότητα $x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 0(mod7)$ ;

Λάμπρος Κατσάπας · #271

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:54 pm
Άσκηση 106

αν θετικοί ακέραιοι ποιαν η πιθανότητα $x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 0(mod7)$ ;

Αυτή έχει τα θεματάκια της. Αφού τραβάς από απειροσύνολο (αριθμήσιμο) δεν λειτουργεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Μάλλον πυκνότητα (density) εννοείς δηλαδή τραβάς από το $\displaystyle\left \{ 1,2,...,n \right \}$ και αφήνεις τελικά το

να πάει στο άπειρο.

Xriiiiistos · #272

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 28, 2019 12:11 am

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:54 pm
Άσκηση 106

αν θετικοί ακέραιοι ποιαν η πιθανότητα $x^{2}+y^{2}+z^{2}\equiv 0(mod7)$ ;
Αυτή έχει τα θεματάκια της. Αφού τραβάς από απειροσύνολο (αριθμήσιμο) δεν λειτουργεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Μάλλον πυκνότητα (density) εννοείς δηλαδή τραβάς από το $\displaystyle\left \{ 1,2,...,n \right \}$ και αφήνεις τελικά το να πάει στο άπειρο.

Την άσκηση την δημοσίευσα επειδή την είχα βρει με λύση, δεν θυμάμαι που.

KARKAR · #273

Άσκηση 108

Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης "ΚΑΛΑΣ" , στους οποίους δεν περιέχονται

εκείνοι με δύο συνεχόμενα "Α" . Π.χ "ΛΑΣΚΑ" δεκτό , "ΣΚΑΛΑ" δεκτό , "ΚΛΑΑΣ" , όχι .

#274

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:18 am
Άσκηση 90
Ένα κουτί περιέχει νομίσματα. Έστω $P(E_k), \ 0\leq k\leq n,$ η πιθανότητα ακριβώς από αυτά να είναι "πειραγμένα".
Η πιθανότητα είναι ευθέως ανάλογη του
Επιλέγουμε στην τύχη ένα νόμισμα και βρίσκουμε ότι είναι "πειραγμένο". Ποια η πιθανότητα να είναι το μοναδικό "πειραγμένο" νόμισμα;
https://brilliant.org/problems/biased-coins-2/

Σχετικά κλασική άσκηση στην δεσμευμένη πιθανότητα. Ας υποθέσουμε ότι P(E_k) = ak(k+1)

. Επειδή $P(E_0) + \cdots + P(E_n) = 1$ παίρνουμε

$\displaystyle 1 = a\sum_{k=0}^n k(k+1) = a \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right] = \frac{an(n+1)(n+2)}{3}$

Άρα $\displaystyle a = \frac{3}{n(n+1)(n+2)}.$

Ας γράψουμε

για το ενδεχόμενο το νόμισμα που επιλέξαμε να είναι μεροληπτικό. Ζητείται η πιθανότητα P(E_1|B)

η οποία είναι ίση με $\displaystyle \frac{P(E_1 \cap B)}{P(B)}$

Έχουμε $\displaystyle P(E_1 \cap B) = P(E_1)P(B|E_1) = 2a \cdot \frac{1}{n} = \frac{6}{n^2(n+1)(n+2)}.$ Επίσης

$\displaystyle \displaystyle{P(B) = \sum_{k=0}^n P(E_k \cap B) = \sum_{k=0}^n P(E_k)P(B|E_k) = \frac{a}{n} \sum_{k=0}^n k^2(k+1) = \frac{a}{n}\left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \right] = \cdots = \frac{(3n+1)}{4n}}$

Καταλήγουμε λοιπόν στην πιθανότητα

$\displaystyle \frac{24}{n(n+1)(n+2)(3n+1)}$

Σημείωση: Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε τον υπολογισμό του

αφού αν το κρατούσαμε χωρίς να το αντικαταστήσουμε θα διαγραφόταν.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #275

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 1:29 pm
Άσκηση 108

Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης "ΚΑΛΑΣ" , στους οποίους δεν περιέχονται

εκείνοι με δύο συνεχόμενα "Α" . Π.χ "ΛΑΣΚΑ" δεκτό , "ΣΚΑΛΑ" δεκτό , "ΚΛΑΑΣ" , όχι .

Μια καλησπέρα!

Λοιπόν... Το πλήθος των γραμμάτων είναι 5. Οπότε, χωρίς τον περιορισμό των 2 διαδοχικών Α έχουμε:

1ο γράμμα: 4 επιλογές
2ο γράμμα: 4 επιλογές
3ο γράμμα: 3 επιλογές
4ο γράμμα: 2 επιλογές
5ο γράμμα: 1 επιλογή

4!χ4 επιλογές = 96

θα υπολογίσω τους λάθους αναγραμματισμούς:

1) περίπτωση: Α Α _ _ _
2) περίπτωση: _ Α Α _ _
3) περίπτωση: _ _ Α Α _
4) περίπτωση: _ _ _ Α Α

Στις κενές θέσεις έχουμε 3! στην κάθε περίπτωση για τα γράμματα Κ, Λ, Σ. Επομένως έχουμε 4χ3!=24 μη δεκτές περιπτώσεις.

Οπότε οι δεκτές είναι 4!χ4-4χ3!=96-24=72

#276

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 31, 2019 6:32 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 30, 2019 1:29 pm
Άσκηση 108

Βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης "ΚΑΛΑΣ" , στους οποίους δεν περιέχονται

εκείνοι με δύο συνεχόμενα "Α" . Π.χ "ΛΑΣΚΑ" δεκτό , "ΣΚΑΛΑ" δεκτό , "ΚΛΑΑΣ" , όχι .
Μια καλησπέρα!

Λοιπόν... Το πλήθος των γραμμάτων είναι 5. Οπότε, χωρίς τον περιορισμό των 2 διαδοχικών Α έχουμε:

1ο γράμμα: 5 επιλογές
2ο γράμμα: 4 επιλογές
3ο γράμμα: 3 επιλογές
4ο γράμμα: 2 επιλογές
5ο γράμμα: 1 επιλογή

5! επιλογές = 120

Νικόλα προσοχή. Εδώ κάτι ξέχασες. Δεν θα πω τι για να το σκεφτείς μόνος σου.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #277

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm

Άσκηση 105
Ρίχνουμε δώδεκα τίμια ζάρια. Ποια η πιθανότητα το γινόμενο των αριθμών που φέραμε να είναι πρώτος;

Προφανώς πρέπει

ζάρια να έχουν φέρει άσσο και και το δωδέκατο πρώτο αριθμό.
Η πιθανότητα και τα έντεκα να έχουν φέρει άσσο είναι $\dfrac{1}{6^{11}}$
και η πιθανότητα το δωδέκατο να τύχει πρώτο αριθμό είναι $\dfrac{1}{2}$
Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\dfrac{1}{2\cdot 6^{11}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #278

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm
Άσκηση 103
Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: $\displaystyle A = \overline{xxxabc} =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c$ όπου ψηφία με $x\neq 0,$ διαιρούνται με το

Καλησπέρα
Πρέπει $x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c\equiv 0 (mod37)$

Έχουμε
$10\equiv 10(mod37),\,\,\,10^2\equiv 26(mod37),\,\,\,10^3\equiv 1(mod37),\,\,\,10^4\equiv 10(mod37),\,\,\kappa \alpha \iota \,\,10^5\equiv 26(mod37)$
Άρα
$x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c\equiv 0(mod37)\Leftrightarrow 26x+x+x+10x+26a+10b+c\equiv... 0(mod37)\Leftrightarrow 26a+10b+c\equiv 0(mod37)\Leftrightarrow 26a+10b+c=37k,k\in \mathbb{N}\Leftrightarrow 26a+\overline{bc}=37k$
Παρατηρούμε ότι για κάθε $0\leq a\leq 9$ υπάρχουν δύο ή τρεις μοναδικοί $\overline{bc}$ ώστε $26a+\overline{bc}=37k$
Άρα αφού από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο

δεν παίζει ρόλο αυτός θα ορίζεται με

τρόπους
Ο

ορίζεται με

τρόπους και για κάθε τιμή του οι b,c

παίρνουν

.
*(Τα παραπάνω νούμερα βρέθηκαν εξετάζοντας όλες τις πιθανές τιμές του

)
Συνολικά οι a,b,c

ορίζονται με

τρόπους.
Άρα συνολικά $28\cdot 9=252$ αριθμοί.

Ορέστης Λιγνός · #279

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:25 pm
Άσκηση 103
Να βρείτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: $\displaystyle A = \overline{xxxabc} =x\cdot 10^5 + x\cdot 10^4 + x \cdot 10^3 + a\cdot 10^2 + b\cdot 10 + c$ όπου ψηφία με $x\neq 0,$ διαιρούνται με το

Είναι, $\overline{xxxabc}=10^3 \overline{xxx}+\overline{abc}=1000x \cdot 111+\overline{abc} \equiv \overline{abc} \pmod {37}$ .

Έστω $\overline{abc}=37k$ , οπότε $0 \leqslant 37k \leqslant 999 \Rightarrow 0 \leqslant k \leqslant 27$ , οπότε το

έχει

πιθανές τιμές.

Οπότε, (το

μπορεί να πάρει 9 τιμές) έχουμε συνολικά $9 \cdot 28=252$ τέτοιους αριθμούς.

#280

Άσκηση 109
Πόσοι διαιρέτες του αριθμού $2012^{2011}$ αφήνουν υπόλοιπο

όταν διαιρεθούν με το

Άσκηση 110
Ο Γιώργος επιλέγει τυχαία έναν αριθμό από το σύνολο [0, 2017]

και η Μαρία επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα από τον αριθμό του Γιώργου έναν αριθμό από το σύνολο [0,4034]

. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός της Μαρίας να είναι μεγαλύτερος του Γιώργου;

Άσκηση 111
Ένας αριθμός ομάδων συμμετείχε σε ένα τουρνουά round-robin, δηλαδή ένα τουρνουά στο οποίο κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μια φορά. Κάθε ομάδα νίκησε σε ακριβώς

παιχνίδια και έχασε σε ακριβώς

παιχνίδια, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Πόσα σύνολα τριών ομάδων $\{A, B, C\}$ υπάρχουν για τα οποία η

νίκησε την

, η

νίκησε την

και η

νίκησε την

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Μέλη σε σύνδεση