Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

#1

Γενίκευση αυτής

: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 1208 φορές

Δύο κύκλοι (O,r), (K,R)

με διάκεντρο OK=d

τέμνονται στα A, B.

Μεταβλητή ευθεία διέρχεται

από το

και τέμνει τους κύκλους στα S, P.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

του τμήματος SP.

#2

: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο_1.png (39.03 KiB) Προβλήθηκε 1175 φορές

Έστω

το μέσο της διακέντρου

. Αφού τα τρίγωνα $BSP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AOK$ είναι όμοια θα είναι όμοια και τα τρίγωνα $BMP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,$ ANK

.

Έτσι αν οι $BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OK$ τέμνονται στο

το τετράπλευρο AMHN

είναι

εγγράψιμο . Άμεση συνέπεια : $\boxed{\widehat {HMN} = \widehat {HAN} = \widehat {HBN}}$ συνεπώς $\boxed{x = u}$ .

Δηλαδή το

ανήκει στον (N,u)

.

Από το 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle AOK$ και με την διάκεντρο OK = d

η ακτίνα του πιο πάνω κύκλου είναι :

$\boxed{u = x = \frac{{\sqrt {2{R^2} + 2{r^2} - {d^2}} }}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 08, 2019 10:44 am
Γενίκευση αυτής Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο.png
Δύο κύκλοι με διάκεντρο τέμνονται στα Μεταβλητή ευθεία διέρχεται

από το και τέμνει τους κύκλους στα Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος

Εργαζόμαστε στην περίπτωση που το $\displaystyle M$ είναι εσωτερικό του κύκλου $\displaystyle \left( {O,R} \right)$ και ομοίως αν είναι εσωτερικό του κύκλου $\displaystyle \left( {K,r} \right)$

Ισχύουν , $\displaystyle SM \cdot MA = {R^2} - O{M^2}$ και $\displaystyle MA \cdot MP = K{M^2} - {r^2}$

Τα πρώτα μέλη είναι ίσα,άρα $\displaystyle {R^2} - O{M^2} = K{M^2} - {r^2} \Leftrightarrow {R^2} + {r^2} = O{M^2} + K{M^2} = 2M{N^2} + \frac{{{d^2}}}{2}$ όπου $\displaystyle OK = d$ και $\displaystyle N$ μέσον του $\displaystyle OK$

Από την τελευταία, $\displaystyle \boxed{MN = \frac{{\sqrt {2{R^2} + 2{r^2} - {d^2}} }}{2}}$ άρα το $\displaystyle M$ κατοικεί στον κύκλο $\displaystyle \left( {N,MN} \right)$ που προφανώς περνά από τα $\displaystyle A,B$

: Γ.Χ.Κ.png (20.47 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

nickchalkida · #4

θεωρώντας γνωστό ότι

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία το αθροισμα των τετραγώνων δύο δοθέντα σημεία

,

είναι σταθερό και ίσο με k^2

είναι κύκλος με κέντρο το μέσο του

και ακτίνα ίση με

$\displaystyle{ r = \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} }$

και παρατηρώντας στο πρόβλημά μας από θεώρημα διαμέσων ότι MO^2 + MK^2

είναι σταθερό

με αναγωγή του αρχικού προβλήματος σε αυτό παίρνουμε παρόμοια των προηγουμένων αποτελέσματα.

Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

Μέλη σε σύνδεση