Ακολουθία συναρτήσεων

[papagedg]

Έστω μια ακολουθία πολυωνύμων που συγκλίνει ομοιόμορφα στο
.Πώς δείχνω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο;

[Mihalis_Lambrou]

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ελπίζω η άσκηση να μην είναι "για το σπίτι" από μαθήματα που παρακολουθείς. Γι' αυτό θα δώσω μόνο

Υπόδειξη: Η συγκλίνουσα ακολουθία θα είναι ομοιόμορφα Caychy, οπότε κοίτα τι γίνεται με τους βαθμούς των πολυωνύμων. Θα μπορούσε να είναι τελικά διαφορετικοί;

[papagedg]

Ευχαριστώ πολύ.Όχι δεν είναι για το σπίτι.Είναι άσκηση του βιβλίου πραγματικής ανάλυσης και είναι στις επαναληπτικές.

[Mihalis_Lambrou]

Ευχαριστώ πολύ.Όχι δεν είναι για το σπίτι.Είναι άσκηση του βιβλίου πραγματικής ανάλυσης και είναι στις επαναληπτικές.

.
Θα χαρούμε να δούμε την λύση σου εδώ.

Ας προσθέσω ότι το συμπέρασμα που πραγματικά βγαίνει από την άσκηση είναι αρκετά απρόσμενο. Θα το θέσω ως ερώτημα.

Αν η ακολουθία και το όριο, ποια είναι η σχέση καθενός από τα με τo , τουλάχιστον από έναν δείκτη και μετά;

[papagedg]

Προσωπικά δε μου φαίνεται απρόσμενο το αποτέλεσμα.Ξέρω ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη άρα εφαρμόζεται το κριτήριο του Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση, δλδ. .Έχω κολλήσει στο πώς από αυτό θα συμπεράνω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο.

[Mihalis_Lambrou]

Προφανώς δεν έχεις καταλάβει πιο είναι αυτό που ονομάζω απρόσμενο (πάντως δεν είναι απλά ότι η οριακή συνάρτηση είναι πολυώνυμο). Δεν το αναφέρω τώρα για να μην χαλάσω την άσκηση που έβαλα στο αμέσως προηγούμενο ποστ μου.

Για το αρχικό ερώτημα θα δώσω μια υπόδειξη παραπάνω αν και νομίζω ότι έχεις ήδη αρκετά στοιχεία για την επίλυση της απορίας σου.

Έχουμε λοιπόν ότι υπάρχει τέτοιο ώστε ισχύει . Τι συμπέρασμα βγάζεις από αυτό για τους πιο υψηλόβαθμους όρους των ;

[papagedg]

Ότι έχουν τον ίδιο βαθμό.Όχι μόνο οι υψηλόβαθμοι όμως.Εφόσον το χ ανήκει στο.

[Mihalis_Lambrou]

Ότι έχουν τον ίδιο βαθμό.Όχι μόνο οι υψηλόβαθμοι όμως.Εφόσον το χ ανήκει στο.

Όχι μόνο. Το συμπέρασμα είναι ισχυρότερο από αυτό που γράφεις.

Καλό είναι να δίνεις ολοκληρωμένες απαντήσεις ή, έστω, με κάποια περίληψη του συλλογισμού. Οι κάπως γενικές και αόριστες απαντήσεις προκαλούν "σούρτα φέρτα" και κουράζουν τους αναγνώστες. Είμαστε στο όγδοο ποστ, και ακόμη δεν έχουμε σαφή απάντηση, αν και το θέμα είναι απλό.

[papagedg]

νομίζω το βρήκα.Εφόσον ισχύει τέτοιο ώστε
να ισχύει τα 2 πολυώνυμα είναι ίσα μετά το δείκτη . Οπότε από αυτή την ανισότητα παίροντας όριο καθώς m τείνει στο άπειρο έχουμε ότι η συνάρτηση όριο p είναι ίση με το και άρα είναι πολυώνυμο.

[Mihalis_Lambrou]

νομίζω το βρήκα.Εφόσον ισχύει τέτοιο ώστε
να ισχύει τα 2 πολυώνυμα είναι ίσα μετά το δείκτη . Οπότε από αυτή την ανισότητα παίροντας όριο καθώς m τείνει στο άπειρο έχουμε ότι η συνάρτηση όριο p είναι ίση με το και άρα είναι πολυώνυμο.

Όχι ακριβώς αλλά είσαι πολύ κοντά: Και οι σταθεροί όροι των πολυωνύμων είναι ίσιοι; Για δες το αυτό.

[papagedg]

Και οι σταθεροί όροι είναι ίσοι. Εφόσον η ανισότητα ισχύει 0.

[Mihalis_Lambrou]

Και οι σταθεροί όροι είναι ίσοι. Εφόσον η ανισότητα ισχύει 0.

.
Όχιιιιιιιιιιι! ΠΑΡΑ πολύ λάθος.

Φοβάμαι ότι δεν έχεις κατανοήσεις την ουσία του εψιλοντικού ορισμού σύγκλισης. Ο ορισμός βασίζεται στην αλληλοεξάρτηση δύο ποσοδεικτών. Στο πολύ λάθος βήμα που σημείωσα με κόκκινο, πήγε περίπατο ο άλλος ποσοδείκτης.

Επειδή έχει αρχίσει και με κουράζει αυτό το θέμα (φτάσαμε τα 12 ποστ για κάτι απλό αλλά έχουμε ελάχιστη πρόοδο) θα κάνω μία τελευταία προσπάθεια:

Γράψε μας πώς ακριβώς βρήκες ότι όλοι οι συντελεστές των πολυωνύμων είναι ίσοι. Και (σημαντικότερο) σε πιο ακριβώς βήμα χρησιμοποίησες την ομοιόμορφη σύγκλιση σε ολόκληρο το .

Επίσης, για να φανεί αν πραγματικά κατάλαβες την ουσιαστική εξάρτηση στην ομοιόμορφη σύγκλιση σε ολόκληρο το , δώσε παραδείγματα
α) ακολουθίας πολυωνύμων που συγκλίνουν κατά σημείο στο σε μία , αλλά η δεν είναι πολυώνυμο,
β) ακολουθίας πολυωνύμων που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε ένα δοσμένο σε μία , αλλά η δεν είναι πολυώνυμο.

Tα τελευταία το ζητώ και για έναν ακόμη λόγο: Στο ποστ #5 έγραψες ότι "Προσωπικά δε μου φαίνεται απρόσμενο το αποτέλεσμα". Προφανώς δεν έχεις καταλάβει γιατί είναι απρόσμενο. Π.χ. γιατί όταν η σύγκλιση είναι κατά σημείο τότε δεν είναι κατ' ανάγκη πολυώνυμο η οριακή; Τι άλλαξε από την μία σύγκλιση στην άλλη;

[Mihalis_Lambrou]

papagedg χάθηκες. Έχουμε καμιά πρόοδο στα παραπάνω;

[papagedg]

Συγγνώμη για το χάσιμο.Ήμουν εκτός. Λοιπόν το ότι οι συντελεστές είναι ίσοι το έβγαλα από το ότι
τέτοιο ώστε . Η διαφορά των
έίναι πολυώνυμο στο οποίο αφαιρούνται οι ομοβάθμιοι όροι και εφόσον το sup αυτής της διαφοράς είναι μικρότερο του αναγκαστικά οι ομοβάθμιοι όροι θα είναι ίσοι.

[papagedg]

Εφόσον η ανισότητα ισχύει και για n σταθερό παίρνω όριο για m και έχω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο. Την ομοιόμορφη σύγκλιση τη χρησιμοποιώ για το κριτήριο Cauchy.

[Mihalis_Lambrou]

Όπως γράφω παραπάνω με κουράζει η πρακτική σου να γράφεις μισές και ασαφείς λύσεις. Μαθηματικά "του περίπου".

Διάβασε το ποστ μου #12 και παρακαλώ απάντησε στα ερωτήματα.

Η διαφορά των
έίναι πολυώνυμο στο οποίο αφαιρούνται οι ομοβάθμιοι όροι και εφόσον το sup αυτής της διαφοράς είναι μικρότερο του αναγκαστικά οι ομοβάθμιοι όροι θα είναι ίσοι.

Ελλειπέστατο. Είναι μεν σωστό το αποτέλεσμα αλλά όχι για τον λόγο που γράφεις (λείπει η φράση κλειδί για την απόδειξη).

Εφόσον η ανισότητα ισχύει και για n σταθερό παίρνω όριο για m και έχω ότι η συνάρτηση όριο είναι πολυώνυμο.

Από πού και ως πού; Είναι μόνο κατά δήλωσή σου. Απόδειξη δεν υπάρχει. Αν είχες μελετήσει τα σχόλια που έγραψα στο ποστ #12, θα καταλάβαινες γιατί είναι ελλειπέστατο.

Την ομοιόμορφη σύγκλιση τη χρησιμοποιώ για το κριτήριο Cauchy.

Όχι. Σε κάποιο άλλο σημείο είναι ουσιαστικότερη η χρήση της. Για παράδειγμα το θεώρημα ΔΕΝ ισχύει για ομοιόμορφη σύγκλιση σε οπότε σου λείπει ΚΑΤΙ ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΟ στην απόδειξή σου. Αν καταλάβεις γιατί σου ζήτησα παράδειγμα

β) ακολουθίας (q_n) πολυωνύμων που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε ένα δοσμένο [a,b] σε μία f, αλλά η f δεν είναι πολυώνυμο.

τότε έχεις ελπίδα. Αλλιώς μένεις με ατεκμηρίωτα τα ουσιαστικά σημεία.

Είμαστε στο ποστ #16 και ακόμη γυροφέρνουμε στα ίδια και τα ίδια. Ας κλείνει το θέμα γιατί δεν αξίζει τόση έκταση για κάτι τόσο απλό.

Θα σε παρακαλέσω να επανέλθεις στο θέμα ΜΟΝΟ αν απαντήσεις με πληρότητα σε ΟΛΑ τα ερωτήματα που θέτω στο #12. Είναι εκεί όχι για να σε παιδέψουν αλλά για να καταλάβεις γιατί είναι ουσιαστικά κάποια βήματα που παραλείπεις συστηματικά στον συλλογισμό σου.