Αντιστρέψιμος πίνακας

#1

Έστωσαν $n\times{n}$ -πίνακες

,

έτσι ώστε

,

και ο

είναι αντιστρέψιμος. Να αποδειχθεί ότι και ο πίνακας A+B^2

είναι αντιστρέψιμος και να βρεθεί ο αντίστροφός του.

#2

Παρατηρούμε ότι A+B^2 = B^2(A+B)A

οπότε είναι αντιστρέψιμος ως γινόμενο αντιστρέψιμων πινάκων.

Μάλιστα ο αντίστροφός του θα είναι $\displaystyle A^{-1}(A+B)^{-1}(B^2)^{-1} = ACB$ όπου

ο αντίστροφος του A+B

.

#3

$\begin{aligned} (A+B^2)\,A\,(A+B)^{-1}\,B&=(A^2+B^2A)\,(A+B)^{-1}\,(B^2)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=(I_n+B^2A)\,\big(B^2(A+B)\big)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=(I_n+B^2A)\,(B^2A+B^3)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=(I_n+B^2A)\,(B^2A+I_n)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=(I_n+B^2A)\,(I_n+B^2A)^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=I_n. \end{aligned}$

Άρα ο πίνακας A+B^2

είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο τον πίνακα $A\,(A+B)^{-1}\,B$ .

Αντιστρέψιμος πίνακας

Αντιστρέψιμος πίνακας

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Μέλη σε σύνδεση