Οϋλεριανή ισοτητα

Tolaso J Kos · #1

Γνωρίζουμε πως υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες , δηλ. αριθμοί a, b , c

τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{a^2 = b^2 +c^2}$
Καλείστε να βρείτε τριάδες ώστε να ισχύει η παρακάτω ισότητα όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler

$\displaystyle{\varphi \left( a^2 \right) = \varphi \left( b^2 \right) + \varphi \left( c^2 \right)}$

Όποιος βρει τις περισσότερες , κερδίζει !!

#2

Είναι $\phi(4^2) + \phi(6^2) = 8 + 12 = 20 = \phi(5^2)$ .

Άρα για κάθε φυσικό

ώστε

έχω

$\phi((4N)^2) + \phi((6N)^2) = 20\phi(N^2) = \phi((5N)^2)$

Βρήκα λοιπόν άπειρες τριάδες.

#3

Καταγράφοντας τις τιμές της $\phi$ για μικρά τέλεια τετράγωνα, μπορούμε εύκολα να βρούμε κατάλληλες τριάδες ως άνω.

Συγκεκριμένα, είναι

$\displaystyle{\phi (4)=2, \, \phi (9)= 6, \, \phi (16)= 8, \, \phi (25)= 20, \, \phi (36)=12 , \, \phi (49)= 42, \, \phi (64)=32 , \, }$
$\displaystyle{ \phi (81)= 54, \, \phi (100)= 40, \, \phi (121)= 110, \, \phi (144)= 48}$

Έτσι βρίσκουμε

$\displaystyle{\phi (2^2)+ \phi (3^2)=2+6=8= \phi (4^2)}$ ,
$\displaystyle{\phi (5^2)+ \phi (6^2)= \phi (8^2)}$ ,
$\displaystyle{\phi (4^2)+ \phi (8^2)= \phi (10^2)}$ ,
$\displaystyle{\phi (4^2)+ \phi (10^2)= \phi (12^2)}$ ,
$\displaystyle{\phi (3^2)+ \phi (7^2)= \phi (12^2)}$ ,
$\displaystyle{\phi (6^2)+ \phi (7^2)= \phi (9^2)}$

αν δεν έκανα κάπου λάθος πράξεις ή ξέχασα κάποιο.

Από αυτά και το τέχνασμα του Δημήτρη παίρνοντας

πρώτο προς τις εμφανιζόμενες βάσεις, λαμβάνουμε άπειρες
ταυτότητες με χρήση της πολλαπλασιαστικής ιδιότητας της $\phi$ .

Εύκολα βρίσκουμε και διπλές ισότητες ή άλλες περίεργες όπως $\displaystyle{\phi (a^2)+ \phi (b^2)= \phi (c^2)+ \phi (d^2), \, \phi (a^2)+ \phi (b^2)+\phi (c^2)= \phi (d^2)}$

Οϋλεριανή ισοτητα

Οϋλεριανή ισοτητα

Re: Οϋλεριανή ισοτητα

Re: Οϋλεριανή ισοτητα

Μέλη σε σύνδεση