Σύγκλιση σειράς

Tolaso J Kos · #1

Δοθέντος μιγαδικής ακολουθίας $\{a_n\}$ τέτοια ώστε $a_n \rightarrow 0$ δείξατε ότι αν η σειρά $\sum \limits_{i=1}^{\infty} (a_{2i-1}+a_{2i})$ συγκλίνει τότε το ίδιο συμβαίνει και με τη σειρά $\sum \limits_{i=1}^{\infty} a_i$ .

Συνάντησα αυτό το αποτέλεσμα σε κάποια άσκηση σχετικά με την αναλυτική συνέχεια της $\zeta$ . Το θυμήθηκα με αφορμή αυτήν την άσκηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 23, 2018 11:29 pm
Δοθέντος μιγαδικής ακολουθίας $\{a_n\}$ τέτοια ώστε $a_n \rightarrow 0$ δείξατε ότι αν η σειρά $\sum \limits_{i=1}^{\infty} (a_{2i-1}+a_{2i})$ συγκλίνει τότε το ίδιο συμβαίνει και με τη σειρά $\sum \limits_{i=1}^{\infty} a_i$ .

Συνάντησα αυτό το αποτέλεσμα σε κάποια άσκηση σχετικά με την αναλυτική συνέχεια της $\zeta$ . Το θυμήθηκα με αφορμή αυτήν την άσκηση.

Ασκηση που δείχνει αν κάποιος έχει καταλάβει τι είναι η σύγκλιση σειρών.

Αν $s_{n}$ τα μερικά αθροίσματα της πρώτης σειρά και $t_{n}$

της δεύτερης τότε $s_{n}=t_{2n}$ .

Αρα η $t_{2n}\rightarrow s$ οπου

το άθροισμα της πρώτης σειράς.

Αλλά $t_{2n+1}=t_{2n}+a_{2n+1}\rightarrow s+0=s$

Αρα $t_{n}\rightarrow s$ και τελειώσαμε.
Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο

Tolaso J Kos · #3

Πολύ ωραία ! Τι συμβαίνει αν αντί για μιγαδική βάλουμε στη θέση της πραγματική ; ( εύκολο )

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 23, 2018 11:53 pm
Πολύ ωραία ! Τι συμβαίνει αν αντί για μιγαδική βάλουμε στη θέση της πραγματική ; ( εύκολο )

Τι λες Τόλη;

Χρησιμοποίησα πουθενά ότι είναι μιγαδικοί οι όροι;

Η απόδειξη που έκανα και είναι απόλυτα φυσιολογική, λειτουργεί και σε χώρους με νόρμα.Και σε ακόμα γενικότερους που δεν
θυμάμαι το όνομα τους.

Tolaso J Kos · #5

Συγνώμη Σταύρο ,

Σκεφτόμουν άλλη άσκηση !!

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 23, 2018 11:29 pm
Δοθέντος μιγαδικής ακολουθίας...

Χμμμ.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση