Περίπατος σε πλέγμα

[Demetres]

Κάνουμε ένα περίπατο στο πιο κάτω πλέγμα, ξεκινώντας από το κουτάκι 1



Σε κάθε βήμα μετακινούμαστε από το τετράγωνο στο οποίο βρισκόμαστε, σε ένα άλλο γειτονικό τετράγωνο, δηλαδή ένα άλλο τετράγωνο με κοινή πλευρά με αυτό που βρισκόμαστε. Στο τέλος του περιπάτου προσθέτουμε τους αριθμούς από όλα τα τετραγωνάκια από τα οποία περάσαμε από το πρώτο βήμα και μετά, με την κατάλληλη πολλαπλότητα. Δεν λαμβάνουμε υπόψη σε αυτό το άθροισμα το τετραγωνάκι από το οποίο ξεκινήσαμε.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να κάνουμε τον περίπατο ώστε το τελικό μας άθροισμα να ισούται με 20;

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση τυπογραφικού.

[Ορέστης Λιγνός]

Κάνουμε ένα περίπατο στο πιο κάτω πλέγμα, ξεκινώντας από το κουτάκι 1



Σε κάθε βήμα μετακινούμαστε από το τετράγωνο στο οποίο βρισκόμαστε, σε ένα άλλο γειτονικό τετράγωνο, δηλαδή ένα άλλο τετράγωνο με κοινή πλευρά με αυτό που βρισκόμαστε. Στο τέλος του περιπάτου προσθέτουμε τους αριθμούς από όλα τα τετραγωνάκια από τα οποία περάσαμε από το πρώτο βήμα και μετά, με την κατάλληλη πολλαπλότητα. Δεν λαμβάνουμε υπόψη σε αυτό το άθροισμα το τετραγωνάκι από το οποίο ξεκινήσαμε.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να κάνουμε τον περίπατο ώστε το τελικό μας άθροισμα να ισούται με 20;

Ωραίο!

Υποθέτω ότι ο πίνακας είναι (γιατί αλλιώς δεν μου βγαίνει ).

Καταρχήν παρατηρούμε, ότι στο πρώτο βήμα, καταλήγουμε στο κουτάκι ή , και στο δεύτερο βήμα στο ή .

Έστω ο αριθμός των βημάτων που θα χρειαστούμε.

Για να επιτύχουμε άθροισμα , θα χρειαστούμε τουλάχιστον βήματα, καθώς αν έχουμε βήματα, το άθροισμα είναι , άτοπο.

Επίσης, θα χρειαστούμε το πολύ βήματα, καθώς αν είχαμε , το άθροισμα θα ήταν , άτοπο.

Άρα, .

Έστω .

Αν είμαστε στο κουτάκι , θα μετακινηθούμε στο ή στο . Επομένως, η διαφορά των δύο επιλογών είναι , και όμοια αν είμαστε π.χ. στο , θα πάμε ή στο , ή στο , με διαφορά πάλι .

Αν λοιπόν ο αριθμός των φορών που επιλέγουμε να πάμε στο μεγαλύτερο κουτάκι (αυτό με τη μεγαλύτερη ένδειξη), το άθροισμα είναι , και πρέπει να ισούται με , οπότε , άτοπο.

Όμοια, , άρα .

Αν , με την ίδια διαδικασία με πριν, , οπότε, αφού κάνουμε βήματα, έχουμε , τρόπους.

Όμοια, για , έχουμε , για έχουμε τρόπους , και για έχουμε τρόπο.

Σύνολο, τρόποι.

[Demetres]

Υποθέτω ότι ο πίνακας είναι (γιατί αλλιώς δεν μου βγαίνει ).

Θα διορθωθεί.

Σύνολο, τρόποι.

Σωστά.

Το μόνο που ήθελε ήταν χωρισμός σε απλούστερες περιπτώσεις, προσοχή στις πράξεις, και κυρίως να μην το φοβηθούμε.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Κάνουμε ένα περίπατο στο πιο κάτω πλέγμα, ξεκινώντας από το κουτάκι 1



Σε κάθε βήμα μετακινούμαστε από το τετράγωνο στο οποίο βρισκόμαστε, σε ένα άλλο γειτονικό τετράγωνο, δηλαδή ένα άλλο τετράγωνο με κοινή πλευρά με αυτό που βρισκόμαστε. Στο τέλος του περιπάτου προσθέτουμε τους αριθμούς από όλα τα τετραγωνάκια από τα οποία περάσαμε από το πρώτο βήμα και μετά, με την κατάλληλη πολλαπλότητα. Δεν λαμβάνουμε υπόψη σε αυτό το άθροισμα το τετραγωνάκι από το οποίο ξεκινήσαμε.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να κάνουμε τον περίπατο ώστε το τελικό μας άθροισμα να ισούται με 20;

Ας δούμε με αναδρομή:

Έστω το πλήθος των τρόπων να κάνουμε περίπατο ξεκινώντας από το κουτάκι ώστε τελικό μας άθροισμα να ισούται με . Ομοίως, ξεκινώντας από το κουτάκι , από το κουτάκι και από το .



Ισχύουν οι σχέσεις:






Από τις παραπάνω προκύπτει ότι και . Επομένως έχουμε:




και τελικά: .

Εμείς ουσιαστικά χρειαζόμαστε το . Εύκολα βρίσκουμε τις αρχικές τιμές:









και εφαρμόζοντας τον παραπάνω αναδρομικό τύπο, βρίσκουμε διαδοχικά τις επόμενες τιμές: και τέλος .