Δεν τη βρίσκει

KARKAR · #1

Για την ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ , συνάρτηση

, ισχύει :

$x e^{f(x)}-f^2(x)=4 , \forall x>0$ .

Μπορεί κάποιος να δείξει ότι η

δεν έχει ακρότατα και ότι είναι γνησίως φθίνουσα .

Μπορεί , επίσης , να βρει την $f^{-1}$ . Μπορεί όμως να βρει την ίδια την

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2018 8:42 pm
Για την ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ , συνάρτηση , ισχύει :

$x e^{f(x)}-f^2(x)=4 , \forall x>0$ .

Μπορεί κάποιος να δείξει ότι η δεν έχει ακρότατα και ότι είναι γνησίως φθίνουσα .

Μπορεί , επίσης , να βρει την $f^{-1}$ . Μπορεί όμως να βρει την ίδια την ;

Είναι ευκολότερο να πάμε ανάποδα τις ερωτήσεις. Κερδίζουμε πρώτα απ' όλα ότι δεν χρειάζεται να υποθέσουμε την

παραγωγίσιμη.

Είναι $x= (4+f^2(x)) e^{-f(x)} \, (*)$ οπότε εύκολα βλέπουμε ότι αν f(x_1)=f(x_2)

, τότε

. Άρα η

είναι

, οπότε αντιστρέψιμη.

Από την (*)

είναι άμεσο ότι $\displaystyle{f^{-1}(x)= (4+x^2)) e^{-x} }$ . Έτσι η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο $\displaystyle{ -e^{-x}((x+1)^2+3)<0}$ , οπότε είναι γνήσια φθίνουσα. Άρα το ίδιο και η

. Και λοιπά.

Το αν μπορούμε ή όχι να βρούμε τύπο για την

δεν ξέρω αν μπορούμε να αποδείξουμε ότι δεν γίνεται.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2018 8:42 pm
Για την ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ , συνάρτηση , ισχύει :

$x e^{f(x)}-f^2(x)=4 , \forall x>0$ .

Μπορεί κάποιος να δείξει ότι η δεν έχει ακρότατα και ότι είναι γνησίως φθίνουσα .

Μπορεί , επίσης , να βρει την $f^{-1}$ . Μπορεί όμως να βρει την ίδια την ;

Κάποιες λύσεις μαζί με τη δικιά μου εδώ: https://www.facebook.com/groups/1190609 ... 360019843/

KARKAR · #4

Α ωραία ! Βρήκαμε και την πηγή της άσκησης . Εμφανίστηκε προχθές στο σχολείο μου .

Λάμπρο για να δει κανείς τη λύση πρέπει πρώτα να εγγραφεί ;

Πάντως , υποθέτω ότι στο ερώτημα "ποια είναι η

; " , δεν υπάρχει απάντηση ...

Λάμπρος Κατσάπας · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2018 10:12 pm
Α ωραία ! Βρήκαμε και την πηγή της άσκησης . Εμφανίστηκε προχθές στο σχολείο μου .

Λάμπρο για να δει κανείς τη λύση πρέπει πρώτα να εγγραφεί ;

Πάντως , υποθέτω ότι στο ερώτημα "ποια είναι η ; " , δεν υπάρχει απάντηση ...

Δεν έχω απάντηση για αυτό το ερώτημα (ποια είναι η f). Δεν χρειάζεται να κάνετε εγγραφή. Αν δεν την βλέπετε να μου το πείτε

για να τη γράψω εδώ. Ανέβασα το link γιατί είναι μακροσκελής και έχει κάποια επιπλέον ερωτήματα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2018 10:12 pm
Α ωραία ! Βρήκαμε και την πηγή της άσκησης . Εμφανίστηκε προχθές στο σχολείο μου .

Λάμπρο για να δει κανείς τη λύση πρέπει πρώτα να εγγραφεί ;

Πάντως , υποθέτω ότι στο ερώτημα "ποια είναι η ; " , δεν υπάρχει απάντηση ...

Δεν αντέχω.
Τι πάει να πει ποια είναι η

;

Λάμπρος Κατσάπας · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2018 10:37 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 16, 2018 10:12 pm
Α ωραία ! Βρήκαμε και την πηγή της άσκησης . Εμφανίστηκε προχθές στο σχολείο μου .

Λάμπρο για να δει κανείς τη λύση πρέπει πρώτα να εγγραφεί ;

Πάντως , υποθέτω ότι στο ερώτημα "ποια είναι η ; " , δεν υπάρχει απάντηση ...
Δεν αντέχω.
Τι πάει να πει ποια είναι η ;

Εννοεί προφανώς αν είναι κάποια στοιχειώδης συνάρτηση πολυωνυμική, ρητή, εκθετική κ.λ.π. ή πράξεις στοιχειωδών συναρτήσεων.

Δεν τη βρίσκει

Δεν τη βρίσκει

Re: Δεν τη βρίσκει

Re: Δεν τη βρίσκει

Re: Δεν τη βρίσκει

Re: Δεν τη βρίσκει

Re: Δεν τη βρίσκει

Re: Δεν τη βρίσκει

Μέλη σε σύνδεση