κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

#1

Έστω $a,\, b, \, c, \, d$ θετικοί ακέραιοι με ad-bc=1

. Δείξτε ότι αν ένα κλάσμα βρίσκεται μεταξύ των $\frac {a}{b}$ και $\frac {c}{d}$ τότε έχει παρονομαστή μεγαλύτερο ή ίσο του b+d

. (θεωρούμε μόνο κλάσματα με θετικούς όρους).

Εφαρμογή: Να βρεθούν όλα τα κλάσματα με παρονομαστή μικρότερο του

, που βρίσκονται μεταξύ των $\frac {10}{13}$ και $\frac {4}{5}$ .

Ας την αφήσουμε δύο μέρες στους μαθητές, ανεξάρτητα τάξης.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Να βρεθούν όλα τα κλάσματα με παρονομαστή μικρότερο του , που βρίσκονται μεταξύ των $\frac {10}{13}$ και $\frac {4}{5}$ .

Κλάσματα με παρονομαστή το

:

$\dfrac{900}{1170}<\dfrac{910}{1170}<\dfrac{936}{1170} \Rightarrow \dfrac{10}{13}<\dfrac{14}{18}<\dfrac{4}{5}$

Κλάσματα με παρονομαστή το

:

$\dfrac{850}{1105}<\dfrac{845}{1105}<\dfrac{884}{1105} \Rightarrow \dfrac{10}{13}<\dfrac{13}{17}<\dfrac{4}{5}$

Συνεχίζουμε έτσι και βρίσκουμε τα κλάσματα.

Παρατηρήσεις για διευκόλυνση:

1) ΠΑΝΤΑ το ΕΚΠ των παρονομαστών θα είναι πολλαπλάσιο του

.

2) Θα υπάρχει ΠΑΝΤΑ ένα κλάσμα, διαδοχικά με αριθμητή: Το πρώτο $65\cdot 14$ , το δεύτερο $65\cdot 13$ κλπ.

3) Κάποια κλάσματα προκύπτουν με ααπλοποίηση, π.χ. $\dfrac{14}{18}=\dfrac{7}{9}$ , με παρονομαστή το

.

#3

Η λύση είναι ελλειπής (και άρα εσφαλμένη).

Για παράδειγμα πρέπει να βρεις όλα τα κλάσματα με παρονομαστή

ανάμεσα στα δοθέντα. Βρήκες ένα. Άρα είτε πρέπει να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλα ή να βρεις και τα υπόλοιπα.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Η λύση είναι ελλειπής (και άρα εσφαλμένη).

Για παράδειγμα πρέπει να βρεις όλα τα κλάσματα με παρονομαστή ανάμεσα στα δοθέντα. Βρήκες ένα. Άρα είτε πρέπει να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλα ή να βρεις και τα υπόλοιπα.

Να το αποδείξω:

$\dfrac{900}{1170}<\dfrac{910}{1170}<\dfrac{936}{1170} \Rightarrow \dfrac{10}{13}<\dfrac{14}{18}<\dfrac{4}{5}$

Είναι το μοναδικό κλάσμα γιατί ο αριθμητής του προκύπτει από το $65 \cdot 14$ , ενώ το $65 \cdot 13 \; \acute{\eta} \; 65 \cdot 15 \; \acute{\eta} \; 65 \cdot 16$ κλπ.

δεν είναι ανάμεσα στους αριθμητές των δύο άλλων κλασμάτων.

#5

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Είναι το μοναδικό κλάσμα γιατί ο αριθμητής του προκύπτει από το $65 \cdot 14$ , ενώ το $65 \cdot 13 \; \acute{\eta} \; 65 \cdot 15 \; \acute{\eta} \; 65 \cdot 16$ κλπ.

δεν είναι ανάμεσα στους αριθμητές των δύο άλλων κλασμάτων.

Και ποιος μς βεβαιώνει ότι ο παραονομαστής είναι μόνο ο 1170

και όχι κάποιος άλλος που μετά από την απλοποίηση με δίνει 18;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Και ποιος μας βεβαιώνει ότι ο παρονομαστής είναι μόνο ο και όχι κάποιος άλλος που μετά από την απλοποίηση μας δίνει

Κανείς. Θα το προσπαθήσω λίγο, αλλά δεν ξέρω αν θα βγάλω άκρη.

Πάντως, νομίζω δεν υπάρχουν άλλα κλάσματα.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:Έστω $a,\, b, \, c, \, d$ θετικοί ακέραιοι με . Δείξτε ότι αν ένα κλάσμα βρίσκεται μεταξύ των $\frac {a}{b}$ και $\frac {c}{d}$ τότε έχει παρονομαστή μεγαλύτερο ή ίσο του . (θεωρούμε μόνο κλάσματα με θετικούς όρους).

Εφαρμογή: Να βρεθούν όλα τα κλάσματα με παρονομαστή μικρότερο του , που βρίσκονται μεταξύ των $\frac {10}{13}$ και $\frac {4}{5}$ .

Επαναφορά για όλους.

Λάμπρος Κατσάπας · #8

Κάνω το πρώτο ερώτημα και αφήνω για τους μαθητές να ασχοληθούν με την εφαρμογή.

Καταρχάς παρατηρούμε ότι $ad-bc=1>0\Rightarrow \frac{a}{b}>\frac{c}{d}.$

Έστω τώρα ρητός $\frac{m}{n}$ με $\frac{c}{d}<\frac{m}{n}<\frac{a}{b}$ (1)

Θα δείξουμε ότι $n\geq b+d.$

Από την αριστερή ανισότητα της (1)

παίρνουμε $md-cn>0\Rightarrow md-cn\geq 1$ (2)

αφού

ακέραιοι. Όμοια από

τη δεξιά ανισότητα της (1)

παίρνουμε $an-mb\geq 1$ (3)

Τότε $n=n(ad-bc)=nad-nbc=d(an)-b(nc)=d(an-mb)+b(-nc+md)\geq b+d$
(η τελευταία προέκυψε από τις (2),(3)

).

Για την εφαρμογή
Υπόδειξη: Είναι γνωστό ότι $\frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b}$ και ο $\frac{a+c}{b+d}$ ικανοποιεί τη συνθήκη του προηγούμενου ερωτήματος με τους διπλανούς του εφόσον ad-bc=1.

Σημείωση: Το πρόβλημα σχετίζεται με μια πολύ γνωστή ακολουθία ρητών

#9

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 28, 2017 12:27 am
Σημείωση: Το πρόβλημα σχετίζεται με μια πολύ γνωστή ακολουθία ρητών

Ακριβώς. Πρόκειται για την λεγόμενη ακολουθία Farey. Βλέπε π.χ. εδώ.

κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Re: κλάσμα ανάμεσα σε κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση