Ομοιότητα Τριγώνων

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #1

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με

. Έστω

το ύψος από την κορυφή

και

το μέσο του

. 'Έστω ακόμη

τυχαίο σημείο στην πλευρά

και

το μέσο του

. Έστω

το περίκεντρο του AEG

. Να αποδειχθεί πως τα τρίγωνα ABC

και

είναι όμοια.

: Ομοιότητα Τριγώνων.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

#2

Δίνω ένα λήμμα που ουσιαστικά ξεκλειδώνει την ωραία αυτή άσκηση.

: Ομοιότητα τριγώνων_λήμμα.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 1161 φορές

Λήμμα:

Έχω ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC\,\,(C = 90^\circ )$ το ύψος

και τυχαίο σημείο

της

. Έστω

το κέντρο του κύκλου (A,G,E)

και

το μέσο του

.

Αν η

κόψει τον πιο πάνω κύκλο στο

, τότε η $CT \bot BE\,\,$ και η

μεσοκάθετος στο

.

Απόδειξη

$\widehat A = \widehat \theta$ (οξείες με πλευρές κάθετες) και $\widehat A = \widehat \omega$ ( από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AETG

. Άρα και το BCTG

είναι εγγράψιμο οπότε $CT \bot TB$ .

Τώρα τα $O\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ ισαπέχουν των $E,\,\,T$ οπότε η

μεσοκάθετος στο

.

Έστω τώρα

το μέσο του

. Η $FD// = \dfrac{{EB}}{2}$ , άρα το τρίγωνο FOD

είναι ορθογώνιο στο

με συνέπεια τα ορθογώνια τρίγωνα $CFD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MOF$ να είναι

: Ομοιότητα τριγώνων_Νιόνιος.png (31.73 KiB) Προβλήθηκε 1152 φορές

όμοια ( $\widehat {MFO} = \widehat {CDF}$ γιατί έχουν κάθετες πλευρές ) . Ο λόγος ομοιότητα αυτών των τριγώνων είναι $k = \dfrac{{CD}}{{MF}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}CB}}{{\dfrac{1}{2}CA}} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{{FD}}{{FO}} = \dfrac{a}{b}$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα $CAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FOD$ έχουν ανάλογες τις κάθετες πλευρές άρα είναι όμοια .

Ομοιότητα Τριγώνων

Ομοιότητα Τριγώνων

Re: Ομοιότητα Τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση