Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

#1

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ στο διάστημα (0,1)

.

#2

Θα δείξουμε ότι συγκλίνει κατά σημείο αλλά όχι ομοιόμορφα στο (0,1)

.

Για $x \in (0,1)$ , θέτω $a = \frac{1}{x}-1$ . Τότε a > 0

και $x = \frac{1}{1+a}$ . Από την ανισότητα Bernoulli, έχω $(1+a)^{1/n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}$ . (Η φορά είναι σωστή επειδή $1/n \leqslant 1$ .)

Άρα $\displaystyle \frac{1-x^{1/n}}{n} \leqslant \frac{1 - \frac{n}{a+n}}{n} = \frac{a}{n(a+n)} < \frac{a}{n^2}$

Άρα η $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-x^{1/n}}{n}$ συγκλίνει.

Έστω προς άτοπο ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άρα υπάρχει φυσικός

ώστε $\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1-x^{1/n}}{n} < \frac{1}{2}$ για κάθε $x \in (0,1)$ .

Θέτω $x = e^{-N}$ . Τότε $\displaystyle x^{1/n} = e^{-N/n} \leqslant \frac{1}{1 + N/n} = \frac{n}{n+N}$ και άρα

$\displaystyle \frac{1-x^{1/n}}{n} \geqslant \frac{N}{n(N+n)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+N}$

Οπότε $\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{1-x^{1/n}}{n} \geqslant \frac{1}{N+1} + \cdots + \frac{1}{2N} \geqslant \frac{1}{2},$ άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ στο διάστημα .

Επιπλέον ερώτημα.

Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα

του $(0,\infty )$

#4

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ στο διάστημα .

Χωρίς να διαφέρει ουσιαστικά από την λύση του Δημήτρη... (έχει και δυο σημεία στα οποία θα "χωρούσε" αποδείξεις, τις οποίες αντιπαρέρχομαι).

Για κάθε $x\in(0,1)\,,\; y\in(0,+\infty)\,,$ ισχύει
$\displaystyle\frac{1-x^{\frac{1}{y}}}{y}<\frac{1}{x\,y^2}\quad(1)\,.$
Επειδή $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x\,n^2}=\frac{\pi^2}{6x}$ έπεται ότι, για κάθε $x\in(0,1)$ , η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x\,n^2}$ είναι φραγμένη. Λόγω της (1)

έπεται ότι και η ακολουθία μερικών αθροισμάτων $(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}$ της $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ είναι φραγμένη. Επειδή η $(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}$ είναι και αύξουσα, έπεται ότι η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ συγκλίνει κατά σημείο στο διάστημα (0,1)

.

Για κάθε $x\in(0,1)$ ισχύει
$\displaystyle\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}>\frac{1}{n}\quad(2)\,.$
Επειδή $\big({\exists\,\varepsilon=\tfrac{\log2}{2}>0}\big)\left({\forall\,n_0\in\mathbb{N}}\right)\left({\exists\,n=n_0,m=2n_0}\right)\big({\exists\,x=\frac{1}{2}\in(0,1)}\big)$ , ώστε $m>{n}\geqslant{n_0}$ και

$\begin{aligned} \displaystyle\left|{\mathop{\sum}\limits_{k=n}^{m}\frac{1-\big(\frac{1}{2}\big)^{\frac{1}{k}}}{k}}\right|&=\mathop{\sum}\limits_{k=n_0}^{2n_0}\frac{1-\big(\frac{1}{2}\big)^{\frac{1}{k}}}{k}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(2)}{>}\mathop{\sum}\limits_{k=n_0}^{2n_0}\frac{1}{k}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &>\log2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &>\varepsilon\,, \end{aligned}$
έπεται ότι η $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο (0,1)

.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 3:31 pm
Επιπλέον ερώτημα.

Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του $(0,\infty )$

Για την ακολουθία
$f_n(x)=\dfrac{\big|1-x^{\frac{1}{n}}\big|}{n}\,, \quad x\in[\alpha,\beta]\,, \; n\in\mathbb{N}\,,\; \alpha>0\,,$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει
$f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{\big|1-\alpha^{\frac{1}{n}}\big|}{n},\,\dfrac{\big|1-\beta^{\frac{1}{n}}\big|}{n}\bigg\}\quad(1)\,.$
Επομένως η (1)

ισχύει και για κάθε συμπαγές υποσύνολο του $(0,+\infty)$ με άκρα τα $\alpha$ και $\beta$ .

Επίσης, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ :

για $y\in(0,1]$ ισχύει $\displaystyle\frac{\big|1-y^{\frac{1}{n}}\big|}{n}<\frac{1}{y\,n^2}\quad(2)\,,$
ενώ για $y\in(1,+\infty)$ ισχύει $\displaystyle\frac{\big|1-y^{\frac{1}{n}}\big|}{n}<\frac{y}{n^2}\quad(3)\,.$

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\begin{aligned} 0<\alpha<\beta\leqslant1\quad&\stackrel{(1)\,(2)}{=\!=\!\Longrightarrow}\quad f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{1}{\alpha\,n^2},\,\dfrac{1}{\beta\,n^2}\bigg\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0<\alpha\leqslant1<\beta\quad&\stackrel{(1)\,(2)\,(3)}{=\!=\!=\!=\!\Longrightarrow}\quad f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{1}{\alpha\,n^2},\,\dfrac{\beta}{n^2}\bigg\}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 1<\alpha<\beta\quad&\stackrel{(1)\,(3)}{=\!=\!\Longrightarrow}\quad f_n(x)\leqslant\max\bigg\{\dfrac{\alpha}{n^2},\,\dfrac{\beta}{n^2}\bigg\}\,. \end{aligned}$

Σε κάθε περίπτωση ισχύει
$\displaystyle\bigg|\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}\bigg|\leqslant\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\big|1-x^{\frac{1}{n}}\big|}{n}\leqslant \kappa\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\kappa\,\pi^2}{6}\,,$
όπου $\kappa$ σταθερά που προσδιορίζεται πλήρως από τις παραπάνω περιπτώσεις. Άρα η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1-x^{\frac{1}{n}}}{n}$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του $(0,+\infty)$ .

Σημείωση: Οι ανισότητες που χρησιμοποιήθηκαν μπορούν να αποδειχθούν εύκολα. Τις αφήνουμε σαν άσκηση.

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08

Μέλη σε σύνδεση