Θετικό πρόσημο συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Στο ΘΑΛΗ 2017 ( τάξη Γ' Λυκείου ) εζητείτο να επιλυθεί η εξίσωση x^7 + x^6 + x^5 + 1 =0

η οποία μετά τη παραγοντοποίηση κατέβαινε στην εξίσωση $\left ( x^2+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x^4 -x+1\right )=0$ . Ζητείται να δειχθεί ότι το τελευταίο πολυώνυμο
$\displaystyle{{\rm P}(x) = x^4 -x + 1}$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ δίχως τη χρήση διαφορικού λογισμού. Προσωπικά το είδα με κυρτότητα , αλλά θέλω να δω αν αγνοώ κάτι απλό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:37 pm
Στο ΘΑΛΗ 2017 ( τάξη Γ' Λυκείου ) εζητείτο να επιλυθεί η εξίσωση η οποία μετά τη παραγοντοποίηση κατέβαινε στην εξίσωση $\left ( x^2+1 \right )\left ( x+1 \right )\left ( x^4 -x+1\right )=0$ . Ζητείται να δειχθεί ότι το τελευταίο πολυώνυμο
$\displaystyle{{\rm P}(x) = x^4 -x + 1}$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ δίχως τη χρήση διαφορικού λογισμού. Προσωπικά το είδα με κυρτότητα , αλλά θέλω να δω αν αγνοώ κάτι απλό.

Για $x\leq 1$ προφανές

Για x> 1

είναι

$x^4 -x + 1=x(x^{3}-1)+1> 0$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:37 pm
Ζητείται να δειχθεί ότι το τελευταίο πολυώνυμο
$\displaystyle{{\rm P}(x) = x^4 -x + 1}$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ δίχως τη χρήση διαφορικού λογισμού. Προσωπικά το είδα με κυρτότητα , αλλά θέλω να δω αν αγνοώ κάτι απλό.

$\displaystyle{ x^4 -x + 1 =\left (x^2-\frac {1}{2} \right )^2+ \left(x-\frac {1}{2}\right )^2 + \frac {1}{2} \ge \frac {1}{2}}$

Edit: Τώρα είδα ότι απάντησε ήδη ο Σταύρος. Το αφήνω.

Tolaso J Kos · #4

Εύκολο ήταν τελικά. Ευχαριστώ.

Θετικό πρόσημο συνάρτησης

Θετικό πρόσημο συνάρτησης

Re: Θετικό πρόσημο συνάρτησης

Re: Θετικό πρόσημο συνάρτησης

Re: Θετικό πρόσημο συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση