Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi \\\\ 2018, &x=\pi \end{matrix}\right.}$
α) Να εξετάσετε αν η

:

i) είναι συνεχής στο $(0,\pi ]$ .
ii) παραγωγίσιμη στο $(0,\pi ]$ .

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της

τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω $A\left ( x_{1},f(x_{1}) \right )$ και $B\left ( x_{2},f(x_{2}) \right )$ με $x_{1},x_{2}\in (0,\pi )$ και $x_{1}<x_{2}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η

είναι κυρτή στο $(0,\pi )$ .
ii) *

Φιλικά,
Μάριος

*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm

ii) Υπάρχει μοναδικό $y\in (0,\pi)$ τέτοιο, ώστε:

$\displaystyle{\int_{2}^{3}\frac{\textup{d}x}{\sin \left ( e^{x} \right )}>\frac{1}{\sin y}-y+e^{3}-e^{2}}$
Φιλικά,
Μάριος

Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.

Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.

M.S.Vovos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 9:17 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm

ii) Υπάρχει μοναδικό $y\in (0,\pi)$ τέτοιο, ώστε:

$\displaystyle{\int_{2}^{3}\frac{\textup{d}x}{\sin \left ( e^{x} \right )}>\frac{1}{\sin y}-y+e^{3}-e^{2}}$
Φιλικά,
Μάριος
Δεν ξέρω αν υπάρχει η δεν υπάρχει αλλά μοναδικό δεν είναι με τίποτα.

Συμπλήρωμα. Το ολοκλήρωμα δεν είναι εντάξει.Ο παρανομαστής μηδενίζεται.

Σωστό Σταύρο. Έπεται διόρθωση!

#4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 5:52 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi \\\\ 2018, &x=\pi \end{matrix}\right.}$
α) Να εξετάσετε αν η :

i) είναι συνεχής στο $(0,\pi ]$ .
ii) παραγωγίσιμη στο $(0,\pi ]$ .

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία, έστω $A\left ( x_{1},f(x_{1}) \right )$ και $B\left ( x_{2},f(x_{2}) \right )$ με $x_{1},x_{2}\in (0,\pi )$ και $x_{1}<x_{2}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι:

i) Η είναι κυρτή στο $(0,\pi )$ .
ii) *

Φιλικά,
Μάριος

*Χρωστάω ερώτημα. Ευχαριστώ Σταύρο!

...δίνω μια απάντηση στα ερωτήματα που υπάρχουν...

α) i)Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο $(0,\pi )$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών και εξετάζουμε στο $\pi$ , βρίσκοντας το όριο

$\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sin x}=+\infty$

(αφού $\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=0,\,\,\sin x>0,\,\,x<\pi$ ) άρα είναι ασυνεχής στο $\pi$ .

ii) Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\pi )$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με ${f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$

β) Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση $f(x)=x\Leftrightarrow \frac{1}{\sin x}=x\Leftrightarrow x\sin x-1=0$

έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα $(0,\pi )$ .Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=x\sin x-1,\,\,x\in [0,\,\pi ]$ που είναι συνεχής ,

ισχύουν ότι $g(0)=-1<0,\,\,g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2},\,g(\pi )=-1<0$ άρα $g(0)g(\frac{\pi }{2})<0,\,\,g(\pi )g(\frac{\pi }{2})<0$

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2})\,,\,{{x}_{2}}\in (\frac{\pi }{2},\,\pi )$ ώστε

$g({{x}_{1}})=g({{x}_{2}})=0$ . Τώρα η εξίσωση $g(x)=0\Leftrightarrow x\sin x-1=0\Leftrightarrow \sin x-\frac{1}{x}=0,\,\,x\in (0,\,\pi )$

και έστω ότι έχει τρεις ρίζες ${{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}$ τότε στα διαστήματα

$[{{\rho }_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}],\,\,[{{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}}]$ για την συνάρτηση $h(x)=\sin x-\frac{1}{x}$ επειδή $h({{\rho }_{1}})=h({{\rho }_{2}})=h({{\rho }_{3}})=0$

και

παραγωγίσιμη με ${h}'(x)=\cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}}$ σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle η {h}'

θα έχει δύο ρίζες

${{\xi }_{1}}\in ({{\rho }_{1}},\,\,{{\rho }_{2}}),\,\,{{\xi }_{2}}\in ({{\rho }_{2}},\,\,{{\rho }_{3}})$ και επειδή η {h}'

είναι παραγωγίσιμη με

${h}''(x)=-\sin x-\frac{2}{{{x}^{3}}}<0$ άρα {h}'

γνήσια φθίνουσα, το προηγούμενο είναι άτοπο άρα η g(x)=0

έχει ακριβώς δύο ρίζες $x_{1},x_{2}\in (0,\pi )$ και $x_{1}<x_{2}$ .

γ) (i) Είναι ${f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x},\,\,\,x\in (0,\,\,\pi )$ και

${f}''(x)={{\left( -\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime \prime }}=-\frac{-{{\sin }^{3}}x-\cos x\,2\sin x\,\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x+2{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0,\,\,\,x\in (0,\,\,\pi )$

άρα η

είναι κυρτή στο $(0,\pi )$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Επειδή $f(x)=f(\pi -x)$ για $x\in (0,\pi )$

αν την θεωρήσουμε στο $(0,\pi )$ η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς την ευθεία $x=\frac{\pi }{2}$

Η παρατήρηση αυτή βοηθάει στην μελέτη της.

M.S.Vovos · #6

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 24, 2017 1:21 am
α) ii) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\pi )$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων με ${f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$

Προσοχή, ζητάω αν η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\pi ]$ .

Φιλικά,
Μάριος

kfd · #7

Στο $\pi$ δεν είναι συνεχής, άρα δεν είναι και παραγωγίσιμη.

Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Re: Μελέτη συνάρτησης και ύπαρξη...

Μέλη σε σύνδεση