Αντίθετες ρίζες

maiksoul · #1

Να λυθεί η ανίσωση : $x^3+(a+1)x^2+(a-2)x-2a\geq 0 ,\;\;\;a\in \Re$

αν είναι γνωστό ότι από τις ρίζες που έχει μόνο δύο είναι αντίθετες.

Έγινε διόρθωση της εκφώνησης , μετά από μια επισήμανση του Σταύρου Παπαδόπουλου παρακάτω.Συγνώμη αν ταλαιπώρησα κάποιους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση : $\;\;x^{3}+(a-3)x^{2}+(2-3a)x+2a\geq 0 ,\;\;\;a\in \Re$

αν είναι γνωστό ότι έχει ακριβώς δύο αντίθετες ρίζες.

Γεια σου Μιχάλη.

Δύο ερωτήσεις .

1)Ρίζα της εξίσωσης εννοείς;

Δηλαδή της $\;\;x^{3}+(a-3)x^{2}+(2-3a)x+2a=0$

2)Οι ρίζες είναι -r,-r,r

;

maiksoul · #3

Καλό απόγευμα Σταύρο ! Στην πρώτη ερώτηση σου η απάντηση είναι Όχι εννοώ την ανίσωση,

όμως παρόλα αυτά έχω κάνει ένα τυπογραφικό λάθος και σε ευχαριστώ για αυτή σου την επισήμανση

η ανίσωση πρέπει να γράφει ως εξής : $x^3+(a+2)x^2+(a-2)x-2a\geq 0$

Για τη δεύτερη ερώτηση, δεν εννοώ πως η ανίσωση έχει μόνο 2 ρίζες ( η μία διπλή και η άλλη αντίθετη της πρώτης).Ελπίζω να απάντησα στην ερώτηση σου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

maiksoul έγραψε:Καλό απόγευμα Σταύρο ! Στην πρώτη ερώτηση σου η απάντηση είναι Όχι εννοώ την ανίσωση,

όμως παρόλα αυτά έχω κάνει ένα τυπογραφικό λάθος και σε ευχαριστώ για αυτή σου την επισήμανση

η ανίσωση πρέπει να γράφει ως εξής : $x^3+(a+2)x^2+(a-2)x-2a\geq 0$

Για τη δεύτερη ερώτηση, δεν εννοώ πως η ανίσωση έχει μόνο 2 ρίζες ( η μία διπλή και η άλλη αντίθετη της πρώτης).Ελπίζω να απάντησα στην ερώτηση σου.

Μιχάλη τώρα μπερδεύτηκα περισσότερο.

Νομίζω ότι πρέπει να διευκρινήσεις την φράση ''έχει ακριβώς δύο αντίθετες ρίζες'

maiksoul · #5

Σταύρο , προσωπικά δεν θεωρώ οτι μπορεί να προκαλέσει πρόβλημα η διατύπωση , παρόλα αυτά την τροποποίησα κάπως ,ώστε να γίνει ακόμα σαφέστερη . Ελπίζω τώρα να σε ικανοποιεί και να ναι εντάξει ! Καλό βράδυ και καλή συνέχεια .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

maiksoul έγραψε:Σταύρο , προσωπικά δεν θεωρώ οτι μπορεί να προκαλέσει πρόβλημα η διατύπωση , παρόλα αυτά την τροποποίησα κάπως ,ώστε να γίνει ακόμα σαφέστερη . Ελπίζω τώρα να σε ικανοποιεί και να ναι εντάξει ! Καλό βράδυ και καλή συνέχεια .

Τώρα την καταλαβαίνω απόλυτα.Σε ευχαριστώ.

nikkru · #7

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση : $x^3+(a+1)x^2+(a-2)x-2a\geq 0 ,\;\;\;a\in \Re$

αν είναι γνωστό ότι από τις ρίζες που έχει μόνο δύο είναι αντίθετες.

Η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την: $(x+a)(x-1)(x+2)\geq 0$ που έχει ρίζες τις x=-a,x=1,x=-2

.
i) Αν $-2<-a<1 \Leftrightarrow -1<a<2$ η ανίσωση έχει λύσεις $x\in [-2,a] \bigcup [2,+\infty )$ ,
ii) Αν $-a\geq 1 \Leftrightarrow a \leq -1$ η ανίσωση έχει λύσεις $x\in [-2,1] \bigcup [a,+\infty )$ ,
iii) Αν $-a<-2 \Leftrightarrow a>2$ η ανίσωση έχει λύσεις $x\in [a,-2] \bigcup [1,+\infty )$ ,
iv) Αν $-a=-2 \Leftrightarrow a=2$ η ανίσωση έχει λύσεις $x\in \left \{ -2 \right \}\bigcup [2,+\infty )$

Οπότε, μόνο για a=2

η ανίσωση περιέχει μόνο δύο αντίθετους αριθμούς στις λύσεις της , τους

και

.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #8

Τι ονομάζουμε ρίζα μιας ανίσωσης;

#9

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση : $x^3+(a+1)x^2+(a-2)x-2a\geq 0 ,\;\;\;a\in \Re$

αν είναι γνωστό ότι από τις ρίζες που έχει μόνο δύο είναι αντίθετες.

Σίγουρα η διατύπωση είναι προβληματική, όπως άλλωστε φάνηκε και από τα παραπάνω. Αυτό που καταλαβαίνω αποκρυπτογραφόντας τις ασάφειες είναι το εξής, με δικά μου λόγια.

Έστω $a\in \mathbb R$ δοθείς. Εαν είναι γνωστό ότι δύο από τις ρίζες του πολυωνύμου είναι αντίθετοι αριθμοί, να λυθεί η ανίσωση

$x^3+(a+1)x^2+(a-2)x-2a\geq 0$

Για την λύση: Επειδή το πολυώνυμο γράφεται $\displaystyle{(x+a)(x-1)(x+2)}$ , σημαίνει ότι οι ρίζες του είναι οι $-a,\, 1, \, -2$ . Έπεται ότι είτε -a=-1

ή

. Στην πρώτη περίπτωαη η ανίσωση γίνεται $\displaystyle{(x+1)(x-1)(x+2)\geq 0 }$ και στην δεύτερη $\displaystyle{(x-2)(x-1)(x+2)\geq 0 }$ . Και λοιπά. (Τις λύνουμε χωριστά. Δύο οι απαντήσεις, ανάλογα την περίπτωση).

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #10

... ή μήπως εννοεί ότι " στο σύνολο λύσεων της ανίσωσης περιέχονται μόνο δύο αντίθετοι αριθμοί " ;

maiksoul · #11

Καλό μεσημέρι !
Αυτό που εννοούσα στην εκφώνηση είναι :

NIZ έγραψε:... " στο σύνολο λύσεων της ανίσωσης περιέχονται μόνο δύο αντίθετοι αριθμοί "

Η συγγεκριμμένη άσκηση , φαίνεται πως προκάλεσε προβλήματα σε αρκετό κόσμο και δεν το ήθελα .Προσπάθησα να μοιραστώ κάτι και ταλαιπώρησα κάποιους εξαρχής. Είναι γνωστό εξ' άλλου ότι : το λάθος ,σε κάθε μας προσπάθεια , παραμονεύει και δεν θέλει και πολύ να το κάνεις . Εύχομαι τουλάχιστον να βρήκαν κάτι ενδιαφέρον σε αυτήν τους την ενασχόληση

#12

Τώρα που ξεκαθάρισα τι ακριβώς εννοεί η άσκηση, διαπιστώνω ότι πρόκειται για πολύ ωραίο θέμα. Για την διατύπωση θα πρότεινα μικρή βελτίωση μια και ο όρος "ρίζα ανίσωσης" ξενίζει.

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση : $x^3+(a+1)x^2+(a-2)x-2a\geq 0 ,\;\;\;a\in \Re$

αν είναι γνωστό ότι από τις ρίζες που έχει μόνο δύο είναι αντίθετες.

Προτείνω την εξής λίγο σαφέστερη διατύπωση, μεταξύ άλλων παραλλαγών:

Να βρεθεί αριθμός $a\in \mathbb R$ αν είναι γνωστό ότι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης $x^3+(a+1)x^2+(a-2)x-2a\geq 0$ περιέχει ακριβώς δύο αντίθετους αριθμούς.
Ποιο είναι το σύνολο λύσεων της ανίσωσης σε αυτή την περίπτωση;

Αντίθετες ρίζες

Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Re: Αντίθετες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση