Μηδενική ορίζουσα

Mathletic · #1

Γειά σας!

Έχουμε 3 ευθείες με εξισώσεις $a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}=0$ , i=1,2,3

. Θέλω να δείξω ότι $\det ((a_{ij}))=0$ ανν οι ευθείες είναι ανα ζεύγος παράλληλα ή έχουν ένα κοινό σημείο.

Έχουμε ότι $\det ((a_{ij}))=0$ ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές είναι γραμμικά εξαρτημένες, αυτό συνεπάγεται ότι οι ευθείες είναι γραμμικά εξαρτημένες. Αυτό σημαίνει ότι κάποιες ευθείες είναι παράλληλες, ή όχι;
Χρησιμοποιούμε αυτό για να δείξουμε το ζητούμενο;

#2

Mathletic έγραψε: Έχουμε ότι $\det ((a_{ij}))=0$ ανν έχουμε μια μηδενική γραμμή.

Δεν ισχύει αυτό. Επίσης ο συλλογισμός σου από εκεί και κάτω είναι προβληματικός.

Θα δώσω υπόδειξη για την μία κατεύθυνση: Έστω ότι οι ευθείες έχουν κοινό σημείο. Τι σημαίνει αυτό για το σύστημα που πρέπει να λύσεις για να βρεις το σημείο;

Καλό είναι να ξαναδείς το σχόλιο/συμβουλή που σου είχα γράψει στο πρώτο μου ποστ εδώ αλλά και αλλού.

Mathletic · #3

Έχουμε τις ευθείες $\left\{\begin{matrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\cdot 1=0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\cdot 1=0 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}\cdot 1=0 \end{matrix}\right.$ .

Το σημείο τομής είναι στη μορφή (x_o,y_o,1)

.

Σε μορφή πίνακα έχουμε $\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

Αν $\det ((a_{ij}))=0$ τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;

#4

Mathletic έγραψε:Έχουμε τις ευθείες $\left\{\begin{matrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\color{red}{ \left\{\begin{matrix} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\cdot 1=0 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\cdot 1=0 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}\cdot 1=0 \end{matrix}\right.}$ .

Το σημείο τομής είναι στη μορφή .

Σε μορφή πίνακα έχουμε $\color{red}{\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21}& a_{22}& a_{23} \\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}}$

Αν $\det ((a_{ij}))=0$ τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Είναι όλα σωστά μέχρι εδώ;

Δεν είναι αυτός φυσικός συλλογισμός. π.χ. τι νόημα έχει το ότι το σημείο τομής ευθειών στο επίπεδο έχει συντεταγμένες (x_0,y_0,1)

; Αλλά υπάρχουν και λάθη. Το σύστημα που θεωρείς δεν έχει την τυπική γραμμική μορφή. Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την αντίστοιχη θεωρία σε ένα τέτοιο "σύστημα" !

Δίνω τα πρώτα βήματα:
Χρειάζεται να διερευνηθεί το σύστημα

εξισώσεων με δύο αγνώστους, που είναι το

$\left\{{\begin{array}{r} a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}x+a_{32}y=-a_{33} \end{array}}\right\}$ .

Όμως το σύστημα μπορεί να διερευνηθεί, ως προς την ύπαρξη ή μη, μιας ή πολλών λύσεων, διερευνώντας τον αντίστοιχο επαυξημένο πίνακα

$A=\left({\begin{array}{cc|c} a_{11}&a_{12}&-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}&a_{22}&-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}&a_{32}&-a_{33} \end{array}}\right)$ .

Επίσης ο πίνακας $A'=\left({\begin{array}{cc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}}\right)$ έχει $\det(A')=-\det(A)$ . (Γιατί; )

Ποιο είναι το επόμενο βήμα;

Υ.Γ. Όπως έχει κάνει επανειλημμένα ο κ. Λάμπρου, σε προτρέπω και εγώ να επιστρέψεις στην θεωρία (γραμμικών συστημάτων) και να κατανοήσεις τις έννοιες.

Mathletic · #5

grigkost έγραψε: Δίνω τα πρώτα βήματα:
Χρειάζεται να διερευνηθεί το σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους, που είναι το

$\left\{{\begin{array}{r} a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}x+a_{32}y=-a_{33} \end{array}}\right\}$ .

Όμως το σύστημα μπορεί να διερευνηθεί, ως προς την ύπαρξη ή μη, μιας ή πολλών λύσεων, διερευνώντας τον αντίστοιχο επαυξημένο πίνακα

$A=\left({\begin{array}{cc|c} a_{11}&a_{12}&-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}&a_{22}&-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}&a_{32}&-a_{33} \end{array}}\right)$ .

Επίσης ο πίνακας $A'=\left({\begin{array}{cc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}}\right)$ έχει $\det(A')=-\det(A)$ . (Γιατί; )

Αφού μια στηλη του πίνακα

είναι πολλαπλασισμένη με -1, έχουμε τα εξής:
$\det (A')=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&-a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}&a_{22}&-a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}&a_{32}&-a_{33} \end{vmatrix}=(-1)^1\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}=-\det (A)$
σωστά;

Αν εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss η τελευταία γραμμή του πίνακα θα πρέπει να είναι μηδενική, για να έχουμε ακριβώς μια λύση. Αν μετά την απαλοιφή Gauss έχουμε κλιμακωτή μορφή (χωρίς μηδενική γραμμή) τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Μας βοηθάει αυτο;

#6

Mathletic έγραψε:...Αν εφαρμόσουμε την απαλοιφή Gauss η τελευταία γραμμή του πίνακα θα πρέπει να είναι μηδενική, για να έχουμε ακριβώς μια λύση. Αν μετά την απαλοιφή Gauss έχουμε κλιμακωτή μορφή (χωρίς μηδενική γραμμή) τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Μας βοηθάει αυτο;

Πρέπει τα παραπάνω να συνδεθούν με την ορίζουσα $\det(A')$ .
Ξεκίνησε με την υπόθεση: ευθείες παράλληλες ή τεμνόμενες σε ένα σημείο και προσπάθησε να συμπεράνεις ότι $\det(A')=0$ .
Και το αντίστροφο: έστω ότι $\det(A')=0$ , τότε αναγκαστικά οι ευθείες είναι παράλληλες ή τεμνόμενες σε ένα σημείο.

ΥΠΟΔΕΙΞΗ:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υ.Γ. Για το κοκκινισμένο: όχι ακριβώς!

Mathletic · #7

Για την κατεύθυνση $\Leftarrow$ :
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι $(a_{11},a_{12})=k(a_{21}, a_{22})$ και $(a_{31},a_{32})=n(a_{21}, a_{22})$ , σωστά;

Τότε έχουμε το εξής:
$\det (A')=\begin{vmatrix}ka_{21}&ka_{22}&-a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ na_{21}&na_{22}&-a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&0&-a_{13}-ka_{23} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix} \\ =0\cdot \begin{vmatrix}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}-0\cdot \begin{vmatrix}a_{21}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}+(-a_{13}-ka_{23})\cdot \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \\ 0&0\end{vmatrix}=0$

Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.

#8

Mathletic έγραψε:Για την κατεύθυνση $\Leftarrow$ :
Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι $(a_{11},a_{12})=k(a_{21}, a_{22})$ και $(a_{31},a_{32})=n(a_{21}, a_{22})$ , σωστά;

Τότε έχουμε το εξής:
$\det (A')=\begin{vmatrix}ka_{21}&ka_{22}&-a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ na_{21}&na_{22}&-a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&0&-a_{13}-ka_{23} \\ a_{21}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix} \\ =0\cdot \begin{vmatrix}&a_{22}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}-0\cdot \begin{vmatrix}a_{21}&-a_{23} \\ 0&-a_{33}+na_{23}\end{vmatrix}+(-a_{13}-ka_{23})\cdot \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22} \\ 0&0\end{vmatrix}=0$

Οπότε αν είναι ευθείες είναι παράλληλες, τότε η ορίζουσα είναι μηδενική.

Σωστό. Προσπάθησε τώρα και τις άλλες περιπτώσεις...

Mathletic · #9

Υποθέτουμε ότι οι 3 ευθείες τέμνονται σε ενα σημείο.

Έστω οτι οι 2 ευθείες $a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0$ και $a_{21}x+a_{22}y+a_{23}=0$ τέμνονται στο σημείο (x_0,y_0)

. Τότε και η τρίτη ευθεία θα πρέπει να περνάει από το σημείο αυτό.
Έχουμε τα εξής
$\\a_{11}x_0+a_{12}y_0=-a_{13} \\ a_{21}x_0+a_{22}y_0=-a_{23}$

Μήπως πρέπει να βρούμε τα x_0,y_0

συναρτήσει των $a_{11},a_{12}y_0,a_{13},a_{21},a_{22},a_{23}$ ;

Έχουμε τα εξής:
$\\-a_{21}a_{11}x_0-a_{21}a_{12}y_0=a_{21}a_{13} \\ a_{11}a_{21}x_0+a_{11}a_{22}y_0=-a_{11}a_{23}$
Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε:
$(-a_{21}a_{12}+a_{11}a_{22})y_0=a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23} \Rightarrow y_0=\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$
Τώρα υπολογίζουμε το x_0

:
$a_{11}x_0+a_{12}\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}=-a_{13} \\ \\ \Rightarrow x_0=\frac{-a_{12}\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}-a_{13}}{a_{11}}=\frac{\frac{-a_{12}(a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23})-a_{13}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}}{a_{11}} \\ \\ =\frac{-a_{12}(a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23})-a_{13}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}{a_{11}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}=\frac{-a_{12}a_{21}a_{13} +a_{12}a_{11}a_{23}-a_{13}a_{11}a_{22}+a_{13}a_{21}a_{12}}{a_{11}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})} \\ \\ =\frac{a_{12}a_{11}a_{23}-a_{13}a_{11}a_{22}}{a_{11}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}=\frac{a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$

Το σημείο πρέπει να ικανοποιεί την τρίτη εξίσωση:
$a_{31}x_0+a_{32}y_0+a_{33}=0 \\ \\ \Rightarrow a_{31}\frac{a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}+a_{32}\frac{a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}+a_{33}=0 \\ \\ \Rightarrow a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})+a_{32}(a_{21}a_{13} -a_{11}a_{23})+a_{33}(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})=0 \\ \\ \Rightarrow a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13} \\ a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}+a_{32}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23} \\ a_{11} &a_{13}\end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \Rightarrow a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13} \\ a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}-a_{32}\begin{vmatrix} a_{11} &a_{13} \\ a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}+a_{33}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \Rightarrow \begin{vmatrix}a_{11} & a_{1} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \det (A)=0$

Έτσι δείξαμε και τις δύο περιπτώσεις για την κατεύθυνση $\Leftarrow$ .

Για την κατεύθυνση $\Rightarrow$ τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;

#10

Mathletic έγραψε:...Για την κατεύθυνση $\Rightarrow$ τι πρέπει να κάνουμε; Μήπως πρέπει να αναπτύξουμε ως προς μια στήλη/γραμμή;

Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με

;

Υ.Γ. Τα αμέσως παραπάνω είναι σωστά.

Mathletic · #11

grigkost έγραψε:Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με ;

Ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.

#12

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε:Τι σημαίνει για τα διανύσματα-στήλες (ή γραμμές) η ορίζουσα του πίνακά τους να ισούται με ;
Ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα.

Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}$ τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)

Mathletic · #13

grigkost έγραψε: Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}$ τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)

Έστω

τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι $d_1=\kappa d_2+\lambda d_3$ , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;

#14

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε: Σωστά. Δηλαδή υπάρχουν $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}$ τέτοια ώστε...(με την διερεύνηση πρέπει να προκύψουν και οι δυο περιπτώσεις)

Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι $d_1=\kappa d_2+\lambda d_3$ , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;

$(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots$

Mathletic · #15

grigkost έγραψε: $(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots$

Αν ένας συντελεστής ειναι μηδέν, π.χ. $\kappa$ τότε $(a_{11},a_{12},a_{13})=\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})$ , αυτό σημαίνει ότι το κάθετο διάνυσμα της πρώτης ευθείας $(a_{11}, a_{12})$ είναι πολλαπλάσιο του άλλου, άρα είναι παράλληλα και άρα ει ευθείες είναι παράλληλες, σωστά;
Αλλά αυτό ισχύει μόνο για 2 ευθείες, ή όχι;

Θα θεωρήσουμε και την περίπτωση ότι $\kappa, \lambda \neq 0$ ;

#16

grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:..Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι $d_1=\kappa d_2+\lambda d_3$ , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;
$(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots$

Η ισότητα δίνει ένα σύστημα τριών σχέσεων (ισοτήτων).
Τι είναι τα $\kappa$ και $\lambda$ για αυτό το σύστημα; Τι σχέση έχουν με τις ευθείες;

Mathletic · #17

grigkost έγραψε:
grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:..Έστω τα διανύσματα. Τότε έχουμε ότι $d_1=\kappa d_2+\lambda d_3$ , ή όχι; Αλλά τί προκύπτει από αυτό;
$(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})\quad\Rightarrow\ldots$
Η ισότητα δίνει ένα σύστημα τριών σχέσεων (ισοτήτων).
Τι είναι τα $\kappa$ και $\lambda$ για αυτό το σύστημα; Τι σχέση έχουν με τις ευθείες;

Για το σύστημα τα $\kappa$ και $\lambda$ είναι οι άγνωστοι.

Έχουμε ότι $(a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0)$ .

Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

#18

Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι $(a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0)$ . Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;

Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος $(\kappa,\lambda)$ ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;

Mathletic · #19

grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι $(a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0)$ . Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;
Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος $(\kappa,\lambda)$ ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;

Μήπως σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες;

#20

Mathletic έγραψε:
grigkost έγραψε:
Mathletic έγραψε:Έχουμε ότι $(a_{11}-\kappa a_{21}-\lambda a_{31}, a_{12}-\kappa a_{22}-\lambda a_{32}, a_{13}-\kappa a_{23}-\lambda a_{33})=(0,0,0)$ . Δεν έχω καταλάβει ακόμα ποιά είναι η σχέση με τις ευθείες. Μπορείτε να μου σώσετε μία ιδέα;
Τι σημαίνει γεωμετρικά ότι το ζεύγος $(\kappa,\lambda)$ ικανοποιεί και τις τρεις ευθείες;

Μήπως σημαίνει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες;

Όχι Mathletic δεν σημαίνει αυτό...
Αλλά δεν έχει νόημα η όποια βοήθεια, αν προηγουμένως δεν έχεις μελετήσει και δεν έχεις προσπαθήσει μόνος σου.
Όπως άλλωστε σε παρότρυνε πολλάκις και ο κ . Λάμπρου.

Υ.Γ. Βέβαια η άσκηση (σχεδόν) λύθηκε, αλλά δεν είναι αυτό το ζητούμενο.

Μηδενική ορίζουσα

Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση