Μήκος ταλαιπωρία

#1

: Μήκος ταλαιπωρία.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ φέρνω το ύψος

. Η διχοτόμος της γωνίας

$\widehat C$ τέμνει το

στο

και η ευθεία

τη πλευρά

στο

.

Αν $BD = 1 + \sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {EBC} = \widehat {ECB}$ να υπολογίσετε το μήκος

του

.

#2

Doloros έγραψε:Μήκος ταλαιπωρία.png

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = 90^\circ )$ φέρνω το ύψος . Η διχοτόμος της γωνίας

$\widehat C$ τέμνει το στο και η ευθεία τη πλευρά στο .

Αν $BD = 1 + \sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {EBC} = \widehat {ECB}$ να υπολογίσετε το μήκος του .

: Ταλαιπωρία.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Έστω

το μέσο του AK.

Είναι $\omega =90^0-2\theta, \varphi=90^0-4\theta$ και από τριγωνομετρικό Ceva:

$\displaystyle{\frac{{\sin \varphi }}{{\sin 2\theta }} \cdot \frac{{\sin \theta }}{{\sin \theta }} \cdot \frac{{\sin \omega }}{{\sin 2\theta }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\cos 4\theta }}{{\sin 2\theta }} \cdot \frac{{\cos 2\theta }}{{\sin 2\theta }} = 1 \Leftrightarrow (2{\cos ^2}2\theta - 1)\cos 2\theta + {\cos ^2}2\theta - 1 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{\cos ^3}2\theta + {\cos ^2}2\theta - \cos 2\theta - 1 = 0}$ απ' όπου (εύκολα

) παίρνουμε τη δεκτή ρίζα

$\boxed{\cos 2\theta = \frac{1}{6}\left( {\sqrt[3]{{44 + 3\sqrt {177} + }}\sqrt[3]{{44 - 3\sqrt {177} }} - 1} \right) \simeq 0,82948}$ Είναι ακόμα $\displaystyle{BK = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{{\cos 2\theta }}},$

$\displaystyle{\sin 2\theta = \frac{{MK}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{AK}}{{2\sin 2\theta }}}$ και με νόμο ημιτόνων στο AKB:

$\displaystyle{\frac{{BK}}{{AK}} = \frac{{\sin 2\theta }}{{\cos 4\theta }} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow }$

$\boxed{x = \frac{{(1 + \sqrt 5 )(2{{\cos }^2}2\theta - 1)}}{{2\cos 2\theta (1 - co{s^2}2\theta )}}}$ Χρησιμοποιώντας τώρα την προσεγγιστική τιμή του $cos2\theta$ βρίσκω τελικά $\boxed{x\simeq 2,35154}$

Μήκος ταλαιπωρία

Μήκος ταλαιπωρία

Re: Μήκος ταλαιπωρία

Μέλη σε σύνδεση