Σωστό ή Λάθος

Γιώργος Τελώνης · #1

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$

#2

σωστό
αφου $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=+\infty}$ υπάρχει $\displaystyle{a}$ : για κάθε $\displaystyle{x>a}$ να είναι $\displaystyle{f'(x)>1}$
Τώρα $\displaystyle{f(t)-f(a)=(t-a)f'(u)>(t-a)}$ αν πάρουμε $\displaystyle{t>u>a}$ ωστε να εφαρμόσουμε Κ.Π ? στην προηγούμενη σχέση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Γιώργος Τελώνης έγραψε:Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$

Ενδιαφέρον είναι και το εξής ισχυρότερο.

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$

Σωστό η λάθος.

Γιώργος Τελώνης · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$

Ενδιαφέρον είναι και το εξής ισχυρότερο.

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$

Σωστό η λάθος.

Λαμβάνοντας υπόψιν και την απόδειξη του R BORIS έχουμε:

$\lim_{x \to +\infty }\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(f(x))'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty$

Οπότε σωστό

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ

Γιώργος Τελώνης · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ

Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη

Σταμ. Γλάρος · #7

Γιώργος Τελώνης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη

Μια προσπάθεια με αντιπαράδειγμα...
Έστω συνάρτηση $f(x)=x \ln x$ , παραγωγίσιμη με $f' (x)= \ln x + 1$ .

Αν και $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$ έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=1 .$

Επομένως η πρόταση είναι λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Γιώργος Τελώνης · #8

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη
Μια προσπάθεια με αντιπαράδειγμα...
Έστω συνάρτηση $f(x)=x \ln x$ , παραγωγίσιμη με $f' (x)= \ln x + 1$ .

Αν και $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$ έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=1 .$

Επομένως η πρόταση είναι λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Πανέξυπνο. Η δική μου προσέγγιση -που πολύ φοβάμαι ότι έχει κάποιο λογικό άλμα στο τέλος- είναι η εξής:

(Θεωρούμε από τις προηγούμενες δημοσιεύσεις γνωστό ότι $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=+\infty$ και $\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=+\infty$ )

Έχουμε

$\large \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{xlnx}=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{\frac{f(x)}{x}}{lnx}=\lim_{x \mapsto +\infty}\frac{(\frac{f(x)}{x})'}{(xlnx)'}= \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{\frac{xf'(x)-f(x)}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}= \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{xf'(x)-f(x)}{x}=\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0$

#9

Ένα κακώς κείμενο εδώ:

Γιώργος Τελώνης έγραψε:
$\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=$

και ένα δεύτερο εδώ:

Γιώργος Τελώνης έγραψε: $\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0$

Θα σου ήταν χρήσιμο να καταλάβεις γιατί είναι σοβαρά σφάλματα αυτά.

#10

Συνεχίζω:
Aν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=0}$
σωστό ή λάθος?

Γιώργος Τελώνης · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ένα κακώς κείμενο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
$\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=$
και ένα δεύτερο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε: $\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0$
Θα σου ήταν χρήσιμο να καταλάβεις γιατί είναι σοβαρά σφάλματα αυτά.

Το δεύτερο το αντιλαμβάνομαι. Το πρώτο όμως, από τη στιγμή ξέρω ότι υπάρχουν τα όρια, δεν καταλαβαίνω γιατί είναι λάθος για να είμαι ειλικρινής

#12

R BORIS έγραψε:Συνεχίζω:
Aν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=0}$
σωστό ή λάθος?

Ροδόλφε: Την Καλημέρα μου και θα τα πούμε σύνομα από κοντά.

Το παραπάνω: Σωστό.

Μία λύση με εψιλοντικό ορισμό (εκτός ύλης, υποθέτω).

Για $\epsilon >0$ υπάρχει εξ υποθέσεως

τέτοιο ώστε για $x\ge a$ να ισχύει $|f'(x)|< \epsilon$ . Από Θ.Μ.Τ. έχουμε για κάποιο $\xi \in (a , x)$

$\displaystyle{ \left | \frac {f(x)}{x}\right |= \left | \frac {f(a)+ (x-a)f'(\xi)}{x}\right |\le \left | \frac {f(a)}{x}\right | + \left | \frac {x-a }{x}\right | \left | f'(\xi)\right | \le \left | \frac {f(a)}{x}\right | + 1\cdot \epsilon < 2 \epsilon}$

αρκεί το

να είναι κατάλληλα μεγάλο. Και λοιπά.

#13

Καλή σου μέρα Μιχάλη
τέλος ακόμη μια (έχω λυση εκτός ύλης)
Αν : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=m>0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}$
Σωστό ή Λάθος?

#14

R BORIS έγραψε: Αν : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=m>0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}$
Σωστό ή Λάθος?

Σωστό.

Εφαρμόζουμε το προηγούμενο στην

όπου

.

Συγκεκριμένα, δεδομένου ότι $g'(x) \to m-m=0$ έχουμε $\frac{f(x)}{x}-m = \frac {g(x)}{x}\to 0$ .

To τελευταίο ζητούμενο έπεται από το γεγονός ότι για μεγάλα

είναι $\frac{f(x)}{x} \ge \frac{m}{2}>0$ .

Σωστό ή Λάθος

Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Μέλη σε σύνδεση