Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

#1

Διαγώνισμα 9 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors

Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων αριθμών (p, q)

για τα οποία ο αριθμός p^2 + 5pq + 4q^2

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Πρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC.

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο

στο εσωτερικό του με την ιδιότητα:
Το συμμετρικό του

ως προς κάθε πλευρά του τριγώνου ABC

βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

Πρόβλημα 3
Έστω a,b

και

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε |a+b|+|b+c|+|c+a|=8.

Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης P=a^2+b^2+c^2.

Πρόβλημα 4
Κάθε σημείο του επιπέδου χρωματίζεται είτε κόκκινο, είτε πράσινο, είτε μπλε.
Να δείξετε ότι υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος .

JimNt. · #2

socrates έγραψε:Διαγώνισμα 9 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors

Πρόβλημα 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων αριθμών για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Ας είναι

$\Leftrightarrow$ pq=(n+p+2q)(n-p-2q)

. Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις (αφού p,q

θετικοί πρώτοι και n+p+2q >n-p-2q

):

,

$\Rightarrow$ 1+2p+4q=pq

$\Leftrightarrow$ (p-4)(q-2)=9

,από όπου προκύπτουν οι λύσεις (p,q,n)=(7,5,18),(13,3,20),(5,11,28)

,

$\Rightarrow$ -2p-4q-1=-pq

$\Leftrightarrow$ (p-4)(q-2)=9

,από όπου προκύπτουν οι λύσεις (p,q,n)=(7,5,-18),(13,3,-20),(5,11,-28)

,

$\Rightarrow$ -2q-p-3q=0

$\Rightarrow$ 5|p >5

, άτοπο

,

$\Rightarrow$ -2q-3p+q=0

$\Rightarrow$ 3|q >3

, άτοπο

,

$\Rightarrow$ -p-q-2p-2q=0

$\Leftrightarrow$ p+q=0

, άτοπο

,

$\Rightarrow$ -p-3q-2q=0

$\Leftrightarrow$ p+q=0

, άτοπο

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

socrates έγραψε: Πρόβλημα 2
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο εσωτερικό του με την ιδιότητα:
Το συμμετρικό του ως προς κάθε πλευρά του τριγώνου βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

Είναι γνωστό ότι το συμμετρικό του ορθοκέντρου ενός τριγώνου ως προς κάθε πλευρά του τριγώνου βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι και το μοναδικό.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

και

το ορθόκεντρο.

Θεωρούμε τα συμμετρικά όλων των σημείων του μικρού τόξου

ως προς την

. Αυτά σχηματίζουν ένα τόξο (συμμετρικό με το μικρό τόξο

).

Ομοίως θεωρούμε τα συμμετρικά όλων των σημείων του μικρού τόξου

ως προς την

. Αυτά σχηματίζουν ένα τόξο (συμμετρικό με το μικρό τόξο

).

Αυτά τα δύο τέμνονται σε δύο σημεία, το ορθόκεντρο

και το

. Αυτά είναι και τα μοναδικά υποψήφια σημεία για την ζητούμενη ιδιότητα. Όμως για να έχει το

αυτή την ιδιότητα, πρέπει το συμμετρικό τόξο του

ως προς την

να περνάει από το

, κάτι που ισχύει μόνο όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, με $\widehat{BCA}=90^o$ , το οποίο είναι άτοπο αφού το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

: ορθόκεντρο.png (14.22 KiB) Προβλήθηκε 2623 φορές

: ορθόκεντρο2.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 2623 φορές

Ορέστης Λιγνός · #4

socrates έγραψε:Διαγώνισμα 9 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors

Πρόβλημα 3
Έστω και πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Από την ανισότητα Cauchy Schwarz, $\sqrt{3[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]} \geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|=8$ , άρα $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \geqslant \dfrac{64}{3}$ (1).

Η (1) δίνει αναπτύσσοντας τα τετράγωνα ότι $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geqslant \dfrac{32}{3}$ .

Από την $ab+bc+ca \leqslant a^2+b^2+c^2$ , έχουμε $2P=2(a^2+b^2+c^2) \geqslant a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geqslant \dfrac{32}{3}$ .

Άρα, $\boxed{\min P=\dfrac{16}{3}}$ , με το ίσον για $a=b=c=\pm \dfrac{4}{3}$ .

Από την γνωστή ανισότητα $|t| \geqslant \pm t$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$ , παίρνουμε $8=|a+b|+|b+c|+|c+a| \geqslant (a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)$ , οπότε $a+b+c \leqslant 4$ και όμοια $a+b+c \geqslant -4$ .

Από τις δύο παραπάνω ανισότητες, $|a+b+c| \leqslant 4$ (2).

Έτσι, $P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \leqslant (a+b+c)^2 \mathop \leqslant \limits^{(2)} 16$ , άρα $\boxed{\max P=16}$ , με το ίσον αν π.χ. $a=2, b=1-\sqrt{5}, c=1+\sqrt{5}$ .

JimNt. · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
socrates έγραψε:Διαγώνισμα 9 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors

Πρόβλημα 3
Έστω και πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Από την ανισότητα Cauchy Schwarz, $\sqrt{3[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]} \geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|=8$ , άρα $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \geqslant \dfrac{64}{3}$ (1).

Η (1) δίνει αναπτύσσοντας τα τετράγωνα ότι $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geqslant \dfrac{32}{3}$ .

Από την $ab+bc+ca \leqslant a^2+b^2+c^2$ , έχουμε $2P=2(a^2+b^2+c^2) \geqslant a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geqslant \dfrac{32}{3}$ .

Άρα, $\boxed{\min P=\dfrac{16}{3}}$ , με το ίσον για $a=b=c=\pm \dfrac{4}{3}$ .

Από την γνωστή ανισότητα $|t| \geqslant \pm t$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$ , παίρνουμε $8=|a+b|+|b+c|+|c+a| \geqslant (a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)$ , οπότε $a+b+c \leqslant 4$ και όμοια $a+b+c \geqslant -4$ .

Από τις δύο παραπάνω ανισότητες, $|a+b+c| \leqslant 4$ (2).

Έτσι, $P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \leqslant (a+b+c)^2 \mathop \leqslant \limits^{(2)} 16$ , άρα $\boxed{\max P=16}$ , με το ίσον αν π.χ. $a=2, b=1-\sqrt{5}, c=1+\sqrt{5}$ .

Νομίζω δεν δίνεται ότι $ab+bc+ca\ge 0$ ... Η

παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του

... (Αν δεν λυθεί αυτή και η

θα βάλω τις λύσεις μου)

Ορέστης Λιγνός · #6

JimNt. έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
socrates έγραψε:Διαγώνισμα 9 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors

Πρόβλημα 3
Έστω και πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Από την ανισότητα Cauchy Schwarz, $\sqrt{3[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]} \geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|=8$ , άρα $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \geqslant \dfrac{64}{3}$ (1).

Η (1) δίνει αναπτύσσοντας τα τετράγωνα ότι $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geqslant \dfrac{32}{3}$ .

Από την $ab+bc+ca \leqslant a^2+b^2+c^2$ , έχουμε $2P=2(a^2+b^2+c^2) \geqslant a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geqslant \dfrac{32}{3}$ .

Άρα, $\boxed{\min P=\dfrac{16}{3}}$ , με το ίσον για $a=b=c=\pm \dfrac{4}{3}$ .

Από την γνωστή ανισότητα $|t| \geqslant \pm t$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$ , παίρνουμε $8=|a+b|+|b+c|+|c+a| \geqslant (a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)$ , οπότε $a+b+c \leqslant 4$ και όμοια $a+b+c \geqslant -4$ .

Από τις δύο παραπάνω ανισότητες, $|a+b+c| \leqslant 4$ (2).

Έτσι, $P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \leqslant (a+b+c)^2 \mathop \leqslant \limits^{(2)} 16$ , άρα $\boxed{\max P=16}$ , με το ίσον αν π.χ. $a=2, b=1-\sqrt{5}, c=1+\sqrt{5}$ .
Νομίζω δεν δίνεται ότι $ab+bc+ca\ge 0$ ... Η παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του ... (Αν δεν λυθεί αυτή και η θα βάλω τις λύσεις μου)

Για την μέγιστη τιμή.

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα $|x|+|y|+|z| \geqslant |x+y+z|$ .

Είναι $8=|a+b|+|b+c|+|c+a|=|a+b|+|-b-c|+|c+a| \geqslant$

|(a+b)+(-b-c)+(c+a)=|2a|

,

οπότε $|a| \leqslant 4$ , και όμοια $|b| \leqslant 4$ , $|c| \leqslant 4$ .

Έτσι, $P=a^2+b^2+c^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2 \leqslant 4^2+4^2+4^2=48$ , οπότε $\boxed{\max P=48}$ , και το ίσον αν π.χ. a=b= 4,c=-4

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

socrates έγραψε:Διαγώνισμα 9 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors
Πρόβλημα 3
Έστω και πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης
.

Μια αντιμετώπιση του προβλήματος είναι με γεωμετρία.

Δηλαδή έχουμε στον χώρο το χωρίο $\left \{ (x,y,z):\left | x+y \right |+\left | y+z \right |+\left | z+x \right | =8\right \}$

και πρέπει να βρούμε ποια σημεία του απέχουν μέγιστη-ελάχιστη απόσταση από το (0,0,0)

Μια άλλη αντιμετώπιση είναι :

Θέτουμε a+b=x,b+c=y,c+a=z

Η συνθήκη γίνεται $\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |=8$

και θέλουμε ακρότατα της παράστασης

$P=\frac{1}{4}(3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-2xy-2yz-2zx)$

(παραλείπω κάποιες πράξεις)

Θα κάνω το άνω φράγμα.

Ειναι $P\leq \frac{1}{4}(2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2\left | x \right |\left | y \right |+2\left | y \right |\left | z \right |+2\left | z \right |\left | x \right |)$

Δηλαδή $P\leq \frac{1}{4}(2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+(\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |)^{2})\leq \frac{1}{4}(2.64+64)=48$

Το ότι $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 64$
προκύπτει εύκολα γεωμετρικά

#8

socrates έγραψε: Πρόβλημα 4
Κάθε σημείο του επιπέδου χρωματίζεται είτε κόκκινο, είτε πράσινο, είτε μπλε.
Να δείξετε ότι υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας το (0,0)

είναι μπλε. Κοιτάζω τους κύκλους με κέντρο το (0,0)

και ακτίνες $1,2,\sqrt{8}$ και

αντίστοιχα. Κάθε ένας από αυτούς έχει το πολύ ένα μπλε σημείο αφού σε διαφορετική περίπτωση θα είχαμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με μπλε κορυφές. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορώ να υποθέσω ότι αυτά τα τέσσερα το πολύ μπλε σημεία έχουν πολικές συντεταγμένες της μορφής $(r,\vartheta)$ με το $\vartheta$ να είναι άρρητο πολλαπλάσιο του $\pi$ . (Περιστρέφω το σχήμα αν χρειαστεί.)

Κοιτάω τα σημεία με πολικές συντεταγμένες $(1,0),(1,2\pi/3),(1,4\pi/3)$ . Κανένα δεν είναι μπλε. Τουλάχιστον τα δύο έχουν το ίδιο χρώμα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα $(1,2\pi/3),(1,4\pi/3)$ είναι πράσινα.

Τότε τα σημεία με (Καρτεσιανές) συντεταγμένες (1,0),(2,0),(3,0),(-1,0),(-2,0),(-3,0)

είναι κόκκινα αφού ανήκουν πάνω στην μεσοκάθετη του τμήματος που συνδέει αυτά τα πράσινα σημεία. (Δεν μπορούν να είναι μπλε αφού στις πολικές συντεταγμένες έχουν ακτίνα 1,2,3

και γωνία ρητό πολλαπλάσιο του $\pi$ .)

Άρα τα σημεία (0,1),(0,2),(0,3)

είναι πράσινα αφού ανήκουν πάνω στην μεσοκάθετη του τμήματος που συνδέει τα (1,0)

και

σημεία. (Δεν μπορούν να είναι μπλε για παρόμοιο λόγο όπως πιο πάνω.)

Η ευθεία x=2

είναι η μεσοκάθετη του τμήματος που συνδέει τα (1,0),(3,0)

. Οπότε κάθε σημείο της εκτός του (2,0)

είναι μπλε ή πράσινο. Ομοίως κάθε σημείο της y=2

εκτός του

είναι μπλε ή κόκκινο. Άρα το (2,2)

είναι μπλε, άτοπο αφού έχει πολικές συντεταγμένες $(\sqrt{8},\pi/4)$ .

#9

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 06, 2017 6:10 pm
Πρόβλημα 4
Κάθε σημείο του επιπέδου χρωματίζεται είτε κόκκινο, είτε πράσινο, είτε μπλε.
Να δείξετε ότι υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος .

Επαναφορά! Υπάρχει απλούστερη λύση.

#10

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 3:38 am

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 06, 2017 6:10 pm
Πρόβλημα 4
Κάθε σημείο του επιπέδου χρωματίζεται είτε κόκκινο, είτε πράσινο, είτε μπλε.
Να δείξετε ότι υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με κορυφές του ίδιου χρώματος .
Επαναφορά! Υπάρχει απλούστερη λύση.

Σωστά! Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το (0,0)

είναι μπλε. Στον κύκλο με κέντρο το (0,0)

και ακτίνα ένα θα υπάρχει το πολύ ένα άλλο σημείο το οποίο είναι μπλε. (Αλλιώς τελειώσαμε.) Μπορώ λοιπόν να βρω κανονικό πεντάγωνο με κορυφές στην περιφέρεια του κύκλου, καμία εκ των οποίων δεν είναι μπλε. Χωρίς βλάβη της γενικότητας τουλάχιστον τρεις είναι κόκκινες. Αυτές σχηματίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο οπότε τελειώσαμε.

#11

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 9

Μέλη σε σύνδεση