Πολυδιάστατη

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Πολυδιάστατη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Μαρ 20, 2017 4:49 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h για τις οποίες ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left [ lng(x) \right ]'=-2xg(x)\\  
\\ 
g(x)>0,g(0)=1,x \in R\\  
\\ 
\displaystyle{h(x)=\frac{3e^x}{e^2-1}\int_{0}^{1}h^2(x)dx}\\ 
\\ 
h(x) \neq 0, x \in R\\ 
\\ 
f(x)=x+1+lng(x)\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να βρεθούν οι τύποι των f,g,h

2) Η g είναι κοίλη σε κατάλληλο διάστημα

3) Aν G μία αρχική της g τότε κατάλληλο διάστημα ισχύει οτι

i) \displaystyle{G(2x)-G(x) \geq xg(2x)}

ii) \displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\left ( G(2x)-G(x) \right )dx \leq \frac{1}{2}}

4) Δείξτε οτι \displaystyle{h^{-1}(x)-x+1 \leq 0,x >0} και η f είναι θετική και κοίλη

5) Αν E το εμβαδό μεταξύ C_f,xx',yy',x=1 τότε \displaystyle{\frac{7}{6} \leq E \leq \frac{3}{2}}

6) Nα βρείτε τα σημεία καμπης της συνάρτησης E(x)=-lng(x) και στην συνέχεια δείξτε οτι (b^2+1)^2>(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) αν 1<a<b<c και οι a,b,c με την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι α.π.

7) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left [ \frac{h(x)}{g(x)} \right ]^{f(x)}=;}

8) Nα λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{h(x)}{g(x)}=f(x)}
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Τετ Μαρ 22, 2017 10:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Πολυδιάστατη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Μαρ 21, 2017 8:50 pm

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h για τις οποίες ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left [ lng(x) \right ]'=-2xg(x)\\  
\\ 
g(x)>0,g(0)=1,x \in R\\  
\\ 
\displaystyle{h(x)=\frac{3e^x}{e^2-1}\int_{0}^{1}h^2(x)dx}\\ 
\\ 
h(x) \neq 0, x \in R\\ 
\\ 
f(x)=x+1+lng(x)\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να βρεθούν οι τύποι των f,g,h

2) Η g είναι κοίλη

3) Aν G μία αρχική της g τότε κατάλληλο διάστημα ισχύει οτι

i) \displaystyle{G(2x)-G(x) \geq xg(2x)}

ii) \displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\left ( G(2x)-G(x) \right )dx \leq \frac{1}{2}}

4) Δείξτε οτι \displaystyle{h^{-1}(x)-x+1 \leq 0,x >0} και η f είναι θετική και κοίλη

5) Αν E το εμβαδό μεταξύ C_f,xx',yy',x=1 τότε \displaystyle{\frac{7}{6} \leq E \leq \frac{3}{2}}

6) Nα βρείτε τα σημεία καμπης της συνάρτησης E(x)=-lng(x) και στην συνέχεια δείξτε οτι (b^2+1)^2>(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) αν 1<a<b<c και οι a,b,c με την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι α.π.

7) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left [ \frac{h(x)}{g(x)} \right ]^{f(x)}=;}

8) Nα λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{h(x)}{g(x)}=f(x)}
Καλησπέρα . Μια προσπάθεια για το 1) της πολυδιάστατης.

Ισχύει : \left [ lng(x) \right ]'=-2xg(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{g(x)} \cdot g'(x) =  -2xg(x) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow - \dfrac{1}{g^2 (x)} \cdot g'(x) =  2x \Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{g (x)}  \right ) ' =  (x^2 )'  .
Συνεπώς από πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ προκύπτει \dfrac{1}{g (x)} = x^2 + c και για x=0, έχουμε c=1.
Άρα g(x)= \dfrac{1}{x^2  +1 } .

Αντικαθιστώντας στον τύπο της f έχουμε f(x)= x+1 -ln (x^2 +1).

Τώρα για την h, θεωρούμε : \displaystyle{  \int_{0}^{1}h^2(x)dx =c, οπότε έχουμε: h(x)=\dfrac{3e^x}{ e^2-1 } \cdot c .

Είναι: \displaystyle{  \int_{0}^{1} \left ( \dfrac{3e^x}{e^2-1} \cdot c \right )^2  dx =c \Leftrightarrow \displaystyle {\frac{9c^2}{(e^2 -1)^2 } \int_{0}^{1} e^{2x}dx}= c \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 9c^2(e^2 -1) = 2c (e^2 -1)^2, συνεπώς c = \dfrac{2}{9} (e^2-1).

Τελικά h(x) = \dfrac{2}{3} e^x .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Πολυδιάστατη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Πέμ Μαρ 23, 2017 3:57 pm

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h για τις οποίες ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left [ lng(x) \right ]'=-2xg(x)\\  
\\ 
g(x)>0,g(0)=1,x \in R\\  
\\ 
\displaystyle{h(x)=\frac{3e^x}{e^2-1}\int_{0}^{1}h^2(x)dx}\\ 
\\ 
h(x) \neq 0, x \in R\\ 
\\ 
f(x)=x+1+lng(x)\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να βρεθούν οι τύποι των f,g,h

2) Η g είναι κοίλη σε κατάλληλο διάστημα

3) Aν G μία αρχική της g τότε κατάλληλο διάστημα ισχύει οτι

i) \displaystyle{G(2x)-G(x) \geq xg(2x)}

ii) \displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\left ( G(2x)-G(x) \right )dx \leq \frac{1}{2}}

4) Δείξτε οτι \displaystyle{h^{-1}(x)-x+1 \leq 0,x >0} και η f είναι θετική και κοίλη

5) Αν E το εμβαδό μεταξύ C_f,xx',yy',x=1 τότε \displaystyle{\frac{7}{6} \leq E \leq \frac{3}{2}}

6) Nα βρείτε τα σημεία καμπης της συνάρτησης E(x)=-lng(x) και στην συνέχεια δείξτε οτι (b^2+1)^2>(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) αν 1<a<b<c και οι a,b,c με την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι α.π.

7) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left [ \frac{h(x)}{g(x)} \right ]^{f(x)}=;}

8) Nα λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{h(x)}{g(x)}=f(x)}
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για τα υπόλοιπα ερωτήματα μέχρι το 4)

2) Η g(x)=\dfrac{1}{x^2 +1} είναι παραγωγίσιμη (πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με g'(x)=- \dfrac{2x}{(x^2 +1)^2} .
Ομοίως η g' είναι παραγωγίσιμη, με g''(x)=\dfrac{2(3x^2-1}{(x^2 +1)^3} .
Από "πινακάκι" κατά τα γνωστά προκύπτει g: κοίλη στο \left [ -\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right ].

3) (i) Είναι \displaystyle{G(2x)-G(x) \geq xg(2x)} (1)
α) Για x=0, η (1) ισχύει ως ισότητα.

β) Για x>0 είναι x<2x, οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την G στο [x,2x] .
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi \in (x, 2x) τέτοιο ώστε: G'(\xi )= \dfrac{G(2x)-G(x)}{2x-x} \Leftrightarrow g(\xi )= \dfrac{G(2x)-G(x)}{x}
Όμως από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +\infty).
Άρα για \xi<2x, συμπεραίνουμε g(\xi)>g(2x) \Leftrightarrow \dfrac{G(2x)-G(x)}{x}>g(2x) \Leftrightarrow G(2x)-G(x)>x g(2x) .

γ) Για x<0 είναι 2x<x, οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την G στο [2x,x] .
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi \in (2x, x) τέτοιο ώστε: G'(\xi )= \dfrac{G(x)-G(2x)}{x-2x} \Leftrightarrow g(\xi )= \dfrac{G(2x)-G(x)}{x}
Όμως από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty , 0).
Άρα για \xi>2x, συμπεραίνουμε g(\xi)>g(2x) \Leftrightarrow \dfrac{G(2x)-G(x)}{x}>g(2x) \Leftrightarrow G(2x)-G(x)<x g(2x) , δεν ισχύει .
Συνεπώς η δοθείσα ισχύει στο [0 , +\infty ) .

4) Είναι h(x)= \dfrac{2}{3} e^x . Για y= h(x) λύνω, ως προς x, την εξίσωση y= \dfrac{2}{3} e^x με y>0 .
Άρα η αντίστροφη είναι η f^{-1}(x) =ln  \left ( \dfrac{3x}{2} \right ) .
Γι΄αυτήν, δεν μου προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα. Προφανώς κάτι δεν βλέπω...

Στη συνέχεια έχουμε ότι η f(x) =x +1- ln \left ( x^2 +1 \right ) παραγωγίσιμη με f' (x) = \dfrac{(x-1)^2}{x^2 +1 } >0 \,\,\,\,\forall x \in  \mathbb{R} -   { 1}
και επειδή η f είναι συνεχής είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R} .

Επίσης ισχύει f(0) =1 και
\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty } \left ( x+1 -ln \left ( x^2 +1 \right ) \right ) = \lim_{x\rightarrow +\infty } \left ((x+1) \left (1 - \frac{ln \left ( x^2 +1 \right )}{x+1} \right ) \right )= +\infty,
διότι εύκολα με τον κανόνα de L' Hospital υπολογίζουμε \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{ln \left ( x^2 +1 \right )}{x+1} =0.

Επομένως f\left (\left [ 0,+\infty \right ) \right ) = [1, +\infty ) .

Ακόμα βρίσκω f''(x) = \dfrac{2(x^2 -1)}{( x^2 +1) ^2 } .
Άρα η f κοίλη μόνο στο [-1,1] και κυρτή στο υπόλοιπο πεδίο ορισμού...

Δυστυχώς, εδώ πρέπει να σταματήσω.
Θα συνεχίσω αργότερα αν δεν προλάβει κάποιος άλλος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 335
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Πολυδιάστατη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Μαρ 27, 2017 9:25 pm

erxmer έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h για τις οποίες ισχύει οτι \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
\left [ lng(x) \right ]'=-2xg(x)\\  
\\ 
g(x)>0,g(0)=1,x \in R\\  
\\ 
\displaystyle{h(x)=\frac{3e^x}{e^2-1}\int_{0}^{1}h^2(x)dx}\\ 
\\ 
h(x) \neq 0, x \in R\\ 
\\ 
f(x)=x+1+lng(x)\\ 
\end{matrix}\right.}

1) Να βρεθούν οι τύποι των f,g,h

2) Η g είναι κοίλη σε κατάλληλο διάστημα

3) Aν G μία αρχική της g τότε κατάλληλο διάστημα ισχύει οτι

i) \displaystyle{G(2x)-G(x) \geq xg(2x)}

ii) \displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\left ( G(2x)-G(x) \right )dx \leq \frac{1}{2}}

4) Δείξτε οτι \displaystyle{h^{-1}(x)-x+1 \leq 0,x >0} και η f είναι θετική και κοίλη

5) Αν E το εμβαδό μεταξύ C_f,xx',yy',x=1 τότε \displaystyle{\frac{7}{6} \leq E \leq \frac{3}{2}}

6) Nα βρείτε τα σημεία καμπης της συνάρτησης E(x)=-lng(x) και στην συνέχεια δείξτε οτι (b^2+1)^2>(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) αν 1<a<b<c και οι a,b,c με την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι α.π.

7) \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left [ \frac{h(x)}{g(x)} \right ]^{f(x)}=;}

8) Nα λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\frac{h(x)}{g(x)}=f(x)}
Καλησπέρα.
Συνεχίζοντας για τα ερωτήματα 5), 6) και 7).
5) Έχουμε σε προηγούμενα ερωτήματα αποδείξει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και f(0) =1.
Άρα για x>0 είναι f(x) >f(0) = 1 >0. Συνεπώς ισχύει: E=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx .
Αρχικά αποδεικνύουμε ότι : E=\displaystyle \int_{0}^{1}\left (x+1- ln(x^2 +1) \right ) dx  \geq  \dfrac{7}{6}

\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{1}\left (x-\dfrac{1}{6} - ln(x^2 +1) \right ) dx  \geq  0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{1}\left (e^{x-\frac{1}{6}} - ln(x^2 +1) \right ) dx  \geq  0 , αρκεί να δείξω.
Θεωρώ την p(x)= e^{x-\frac{1}{6}} - ln(x^2 +1) , παραγωγίσιμη με p'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1} >0 \forall x\in (0,1).
Συνεπώς η p είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1].
Άρα p(x)\geq p(0)=e^{-\frac{1}{6}}>0 και επομένως E \geq \dfrac{7}{6} και μάλιστα E> \dfrac{7}{6}.

Επίσης είναι x^2 +1\geq  1 \Leftrightarrow ln(x^2 +1) \geq 0 \Leftrightarrow -ln (x^2+1)\leq 0
οπότε x+1 -ln (x^2+1)\leq  x+1.

Άρα E=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx\leq \int_{0}^{1}(x+1)dx  = \frac{3}{2} .

6) Έχουμε E(x) = - ln (g(x))  = ln (x^2 +1), δύο φορές παραγωγίσιμη με E' (x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^2} και E'' (x) = \dfrac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}
Για x>1 είναι E''(x)<0, άρα η E : κοίλη.
Αφού a, b, c αποτελούν διαδ. όρους αριθμητικής προόδου ισχύει 2b = a+c.
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την E στα διαστήματα \left [ a, b=\dfrac{a+c}{2} \right ] και \left [ b=\dfrac{a+c}{2}, c \right ].
Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi _{1}\in \left ( a, \frac{a+c}{2} \right ) τέτοιο ώστε E'(\xi _{1})=\dfrac{E(\frac{a+c}{2})-E(a)}{\frac{c-a}{2}} = \dfrac{E(b)-E(a)}{\frac{c-a}{2}} .

Ομοίως υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi _{2}\in \left (  \frac{a+c}{2} ,c\right ) τέτοιο ώστε E'(\xi _{2})=\dfrac{E(c)- E(\frac{a+c}{2})}{\frac{c-a}{2}} = \dfrac{E(c)-E(b)}{\frac{c-a}{2}} .

Άρα για \xi _{1}< \xi _{2} και επειδή η E' είναι γνησίως φθίνουσα , ισχύει E'(\xi _{1})>E'( \xi _{2}) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow E(b)-E(a)>E(c)- E(b) \Leftrightarrow 2E(b)>E(a)+ E(c) \Leftrightarrow 2ln (b^2+1)> ln (a^2+1)+ln (c^2+1) \Leftrightarrow ln (b^2+1)^2> ln ((a^2+1) (c^2+1)) \Leftrightarrow (b^2+1)^2> (a^2+1) (c^2+1)
Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος , γιατί είναι ελαφρώς διαφορετικό από το ζητούμενο.

7) Είναι \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{h(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\dfrac{2}{3}e^x(x^2+1) \right )= +\infty.
Άρα \displaystyle  \lim_{x\rightarrow +\infty }ln \left (\dfrac{2}{3}e^x(x^2+1) \right )= +\infty.
Επίσης από το 4) έχουμε : \displaystyle  \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=  \lim_{x\rightarrow +\infty }(x+1 -ln (x^2 +1)) = +\infty.

Άρα \displaystyle  \lim_{x\rightarrow +\infty } \left (\dfrac{h(x)}{g(x)} \right )^{f(x)} = +\infty.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες