Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙ τάξη 10)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.


1. Σε κύκλο είναι γραμμένα 29 μη μηδενικά ψηφία. Οποιαδήποτε δυο γειτονικά ψηφία, κατά την φορά της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου, μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως διψήφιους αριθμούς. Εξετάζουμε αυτούς τους 29 διψήφιους αριθμούς, που σχηματίζονται από γειτονικά ψηφία. Μπορεί το γινόμενό τους να είναι τέλειο τετράγωνο;


2. Η διχοτόμος της γωνίας ισοσκελούς τραπέζιου τέμνει την βάση του στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .


3. Δίνεται «σκάλα» ( σε κάθε γραμμή έχει 3 κελιά και κάθε επόμενη γραμμή είναι ολισθημένη κατά ένα κελί δεξιότερα της προηγούμενης). Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε αυτήν τους αριθμούς από το 1 έως το 300 έτσι, ώστε σε κάθε οριζόντια γραμμή και κάθε κάθετη γραμμή οι αριθμοί να είναι σε αύξουσα σειρά (από αριστερά προς στα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω);

petroupolh_10taxh_fash_1_thema_3.png (6.73 KiB) Προβλήθηκε 2262 φορές

4. Υπάρχει άραγε τριώνυμο δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο, ώστε κάθε μία από τις εξισώσεις

,

να έχει ακέραια λύση (έστω και μια);


5. Οι θετικοί αριθμοί και ο θετικός ακέραιος ικανοποιούν την σχέση

. Να αποδείξετε ότι .

[nikkru]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.
2. Η διχοτόμος της γωνίας ισοσκελούς τραπέζιου τέμνει την βάση του στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .

Πετρούπολη 2016_Φ1_Τ10_2.png (21.14 KiB) Προβλήθηκε 2231 φορές

Είναι οπότε .

Το τραπέζια είναι ισοσκελή οπότε η μεσοκάθετος των βάσεων του πρώτου διέρχεται από το κέντρο του κύκλου

και από το μέσο του άρα είναι άξονας συμμετρίας του σχήματος με αποτέλεσμα .

Τέλος από την και από την προκύπτει το ζητούμενο, δηλαδή .

[george visvikis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.

2. Η διχοτόμος της γωνίας ισοσκελούς τραπέζιου τέμνει την βάση του στο σημείο . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .

Πετρούπολη 2016 ΦΙ 10_2.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 2199 φορές

Έστω ότι ο κύκλος τέμνει την στο Επειδή το είναι ισοσκελές τραπέζιο και το εγγεγραμμένο, θα είναι και αυτό

ισοσκελές τραπέζιο καθώς επίσης και το Από τη διχοτόμο και τις παραλληλίες όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με

Είναι ακόμα,

[nikkru]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.

4. Υπάρχει άραγε τριώνυμο δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο, ώστε κάθε μία από τις εξισώσεις

,

να έχει ακέραια λύση (έστω και μια);

Έστω με .

Οι εξισώσεις , παίρνουν την μορφή: και

οι οποίες καταλήγουν στις εξισώσεις και

που έχουν διακρίνουσες και αντίστοιχα.

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες και η δεύτερη .

Η πρώτη εξίσωση έχει ακέραια ρίζα όταν δηλαδή .

Τότε η ρίζα της δεύτερης παίρνει την μορφή: που δεν είναι ακέραιος για καμιά τιμή του .

Επομένως δεν υπάρχει τριώνυμο που να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις που τέθηκαν.



-- Έγινε διόρθωση σε τυπογραφικά λάθη (δύο πρόσημα) που εντόπισε ο Demetres .

[Demetres]

4. Υπάρχει άραγε τριώνυμο δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές τέτοιο, ώστε κάθε μία από τις εξισώσεις

,

να έχει ακέραια λύση (έστω και μια);

Ας υποθέσουμε πως υπάρχει τέτοιο τριώνυμο, έστω το .

Για αν τότε που δίνει . Αφού παίρνουμε .

Από το πιο πάνω καταλήγουμε στο ότι πρέπει να ισχύει τουλάχιστον ένα από τα εξής:

1) . το οποίο δίνει που απορρίπτεται.
2) το οποίο δίνει που απορρίπτεται.
3) που δίνει που επίσης απορρίπτεται.

[JimNt.]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.



3. Δίνεται «σκάλα» ( σε κάθε γραμμή έχει 3 κελιά και κάθε επόμενη γραμμή είναι ολισθημένη κατά ένα κελί δεξιότερα της προηγούμενης). Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε αυτήν τους αριθμούς από το 1 έως το 300 έτσι, ώστε σε κάθε οριζόντια γραμμή και κάθε κάθετη γραμμή οι αριθμοί να είναι σε αύξουσα σειρά (από αριστερά προς στα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω);

petroupolh_10taxh_fash_1_thema_3.png

Θα δείξουμε ότι έχουμε συνολικά τρόπους τοποθέτησης. Το πρέπει αναγκαστικά να τοποθετηθεί στο (Αφου είναι ο μικρότερος αριθμός, καθώς διαφορετικα΄θα συνόρευε βόρεια ή ανατολικά με έναν αριθμό , , άτοπο. Το δύο αναγκαστικά στο γιατί διαφορετικα θα συνορεύει βόρεια με ένα τετράγωνο αριθμού με , άτοπο. To πρέπει αναγκαστικά να τοποθετηθεί στο (Αφου είναι ο μεγαλύτερος αριθμός, καθώς διαφορετικα΄θα συνόρευε νότια με έναν αριθμό , , άτοπο), τo πρέπει αναγκαστικά να τοποθετηθεί στο , διαφορετικά θα συνορεύει νότια με έναν , άτοπο) .Το πρέπει αναγκαστικά να τοποθετηθεί στο . Έστω προς άτοπο ότι τοποθετείτο στο διάφορο του , τότε θα πρέπει , όμως τότε αυτοί θα συνορεύουν βόρεια με τετράγωνα μικρότερα του , άτοπο αφού το δεν συνορεύει νότια με κανένα τετράγωνο. Εστω, προς άτοπο ότι τοποθετείτο σε διάφορο του τότε θα πρέπει ή . Αν είναι προκύπτει ότι , άτοπο με βάση την υπόθεση, αν είναι τότε , άτοπο, αφού τότε (και με βάση την αρχική υπόθεση διάφορο του ). Αν τώρα τοποθετείτο στο διάφορο του , προκύπτει ότι ή , αν είναι το αυτό θα πρέπει να συνορεύει βόρεια με το , άτοπο. Αν είναι το , αυτό θα πρέπει να συνορεύει βόρεια με το , όμως ο ,άτοπο. Συνεπώς, . Συνεπώς, ή και ή . τρόποι. Συνεχίζουμε επαγωγικά και δείχνουμε ότι κάθε αριθμός της μορφής θα τοποθετηθεί στο και ότι οι , έχουν τρόπους τοποθέτησης τους , και το αντίστροφο. Συνεπώς, αφού έχουμε συνδεόμενες γραμμές έχουμε συνολικά τρόπους τοποθέτησης. (Ελπίζω να είναι σωστό) (edit: Παρανόηση)

[Demetres]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της πρώτης φάσης για την 10η τάξη.



3. Δίνεται «σκάλα» ( σε κάθε γραμμή έχει 3 κελιά και κάθε επόμενη γραμμή είναι ολισθημένη κατά ένα κελί δεξιότερα της προηγούμενης). Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε αυτήν τους αριθμούς από το 1 έως το 300 έτσι, ώστε σε κάθε οριζόντια γραμμή και κάθε κάθετη γραμμή οι αριθμοί να είναι σε αύξουσα σειρά (από αριστερά προς στα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω);

petroupolh_10taxh_fash_1_thema_3.png

Μια σύντομη λύση, ελπίζω σωστή. Θα δείξουμε ότι υπάρχει μόνο τρόπος τοποθέτησης , ο (όπου το βελάκι δηλώνει την μετάβαση στην απο κάτω σκάλα. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι και γενικότερα ότι κάθε όπου και . Aξιοποιώντας το παραπάνω φτάνουμε εύκολα στην λύση.

Όχι, δεν είναι σωστό. Π.χ. τα και μπορούν να μπουν και ανάποδα.

[Γιάννης Μπόρμπας]

Πρόβλημα 3.
Ονομάζουμε τα κελιά ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω αριστερά δίνοντας προτεραιότητα στην σειρά όσον αφορά την αρίθμηση για ευκολία. Αρχικά παρατηρούμε ότι τα κελιά: πρέπει να περιλαμβάνουν τους αριθμούς αντίστοιχα. Διαφορετικά θα εγκλωβιζόντουσαν από μεγαλύτερους και μικρότερους αριθμούς παραβιάζοντας την συνθήκη.
Ας υποθέσουμε λοιπόν πως , για κάποιο . Τότε πριν του θα υπήρχαν στο σύνολο τουλάχιστον μικρότεροι αριθμοί, από τους οποίους οι χωράνε ενώ περισσεύει τουλάχιστον ένας. Αυτό σημαίνει πως αυτός ο (τουλάχιστον ένας) αριθμός θα πρέπει να τοποθετηθεί μετά τον . Όμως θα εγκλωβιστεί από μεγαλύτερους αριθμούς οπότε θα παραβιαστεί η συνθήκη. Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν . Επομένως πρέπει . Στην συνέχεια τους αριθμούς μπορούμε να τους τοποθετήσουμε στα κελιά με 2 τρόπους. Άρα γενικότερα τους αριθμούς μπορούμε να τους τοποθετήσουμε στα κελιά με 2 τρόπους. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή οι συνολικοί τρόποι είναι: . Η λογική που επέλεξα συγκεκριμένα τα κελιά είναι πως τα συγκεκριμένα κελιά διαχωρίζουν την σκάλα σε 2 κομμάτια. Κάτι σαν εμπόδια.

[Demetres]

1. Σε κύκλο είναι γραμμένα 29 μη μηδενικά ψηφία. Οποιαδήποτε δυο γειτονικά ψηφία, κατά την φορά της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου, μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως διψήφιους αριθμούς. Εξετάζουμε αυτούς τους 29 διψήφιους αριθμούς, που σχηματίζονται από γειτονικά ψηφία. Μπορεί το γινόμενό τους να είναι τέλειο τετράγωνο;

Ναι. Π.χ γράφοντας τα ψηφία



όπου οι τρεις τελείες υποδηλώνουν επανάληψη των ψηφίων και . Κάθε διψήφιος αριθμός που προκύπτει είναι τέλειο τετράγωνο εκτός από τρεις εμφανίσεις του και εφτά εμφανίσεις του . Όμως και . Επομένως το είναι τέλειο τετράγωνο και άρα το γινόμενο και των διψήφιων αριθμών είναι τέλειο τετράγωνο.

[Γιάννης Μπόρμπας]

1. Σε κύκλο είναι γραμμένα 29 μη μηδενικά ψηφία. Οποιαδήποτε δυο γειτονικά ψηφία, κατά την φορά της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου, μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως διψήφιους αριθμούς. Εξετάζουμε αυτούς τους 29 διψήφιους αριθμούς, που σχηματίζονται από γειτονικά ψηφία. Μπορεί το γινόμενό τους να είναι τέλειο τετράγωνο;

Ναι. Π.χ γράφοντας τα ψηφία



όπου οι τρεις τελείες υποδηλώνουν επανάληψη των ψηφίων και . Κάθε διψήφιος αριθμός που προκύπτει είναι τέλειο τετράγωνο εκτός από τρεις εμφανίσεις του και εφτά εμφανίσεις του . Όμως και . Επομένως το είναι τέλειο τετράγωνο και άρα το γινόμενο και των διψήφιων αριθμών είναι τέλειο τετράγωνο.

Καλημέρα κύριε Δημήτρη. Πολύ ωραία σκέψη! Βέβαια, για διαγωνισμό δεν ξέρω πόσο απλό θα ήταν να το σκεφτεί κάποιος. Αν συμμετείχα εγώ προσωπικά, θα προσπαθούσα να δείξω πως δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι.