Putnam 2016/A5

#1

Έστω πεπερασμένη ομάδα

η οποία παράγεται από δύο στοιχεία

και

όπου το

έχει περιττή τάξη. Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της

μπορεί να γραφτεί στην μορφή

$\displaystyle{g^{m_1}h^{n_1}g^{m_2}h^{n_2}\cdots g^{m_r}h^{n_r}}$

όπου $1\leqslant r\leqslant |G|$ και $m_1,n_1,m_2,n_2,\ldots,m_r,n_r\in\{1,-1\}.$

#2

Ας το δείξουμε πρώτα χωρίς τον περιορισμό $1 \leqslant r \leqslant |G|$ .

Έστω 2m+1

η τάξη του

και

η τάξη του (gh)

. Άρα

$g^{-1}h\underbrace{gh \cdots gh}_{k-1} = g^{-1}h(gh)^{-1} = g^{-2}$ .

Επαναλαμβάνοντας το ίδιο

φορές, παίρνουμε το $g^{-2m} = g$ . Άρα μπορούμε να πάρουμε και το $h = g(g^{-1}h)$ . Επομένως μπορούμε να πάρουμε όποιο στοιχείο του

θέλουμε.

Μένει τώρα να το δείξουμε και με τον περιορισμό $1 \leqslant r \leqslant |G|$ .

Έστω λοιπόν $x \in G$ και έστω ότι γράψαμε το

στην μορφή $\displaystyle{g^{m_1}h^{n_1} \cdots g^{m_r}h^{n_r}}$ με $m_i,n_j \in \{-1,1\}$ για κάθε $1 \leqslant i,j\leqslant r$ και με το

να είναι ελάχιστο. Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι r > |G|

.

Θέτουμε $x_1 = g^{m_1}, x_2 = g^{m_1}h^{n_1},\ldots,x_{2r} = g^{m_1}h^{n_1} \cdots g^{m_r}h^{n_r}$ . Είναι $2r \geqslant 2|G|+2$ άρα τουλάχιστον ένα στοιχείο του

εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές στην ακολουθία $x_1,\ldots,x_r$ . Οπότε εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές με δείκτη της ίδιας αρτιότητας. Τότε όμως υπάρχει ένα γινόμενο διαδοχικών $g^{m_i},h^{m_j}$ με ίσο αριθμό από δυνάμεις του

και του

το οποίο ισούται με το ταυτοτικό στοιχείο του

. Αγνοώντας αυτές τις δυνάμεις καταλήγουμε σε μια πιο σύντομη έκφραση για το

. Άτοπο, άρα $r \leqslant |G|$ .

Putnam 2016/A5

Putnam 2016/A5

Re: Putnam 2016/A5

Μέλη σε σύνδεση