Ελάχιστη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ελάχιστη εφαπτομένη.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Ημικύκλιο έχει ως διάμετρο , την πλευρά

τετραγώνου ABCD

.

Έστω

τυχαίο σημείο του ημικυκλίου . Η κάθετη της

στο

, τέμνει

την πλευρά

στο σημείο

. Βρείτε την ελάχιστη τιμή της $tan\widehat{PAS}$

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη.pngΗμικύκλιο έχει ως διάμετρο , την πλευρά τετραγώνου .

Έστω τυχαίο σημείο του ημικυκλίου . Η κάθετη της στο , τέμνει

την πλευρά στο σημείο . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της $tan\widehat{PAS}$

Καλό μεσημέρι!

: Ελάχιστη έφαπτομένη.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

$\displaystyle{\tan \theta = \tan \left( {{{90}^0} - (\varphi + \omega )} \right) = \cot (\varphi + \omega ) = \frac{{\frac{a}{x} \cdot \frac{a}{{a - x}} - 1}}{{\frac{a}{x} + \frac{a}{{a - x}}}} = \frac{1}{{{a^2}}}({x^2} - ax + {a^2}) = \frac{1}{{{a^2}}}{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}}$

που παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με $\boxed{{(tan\theta )_{\min }} = \frac{3}{4}}$ , για $\boxed{x=\frac {a}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη.pngΗμικύκλιο έχει ως διάμετρο , την πλευρά τετραγώνου .

Έστω τυχαίο σημείο του ημικυκλίου . Η κάθετη της στο , τέμνει

την πλευρά στο σημείο . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της $tan\widehat{PAS}$

Είναι , $\displaystyle{E = \left( {PAB} \right) = \frac{{{\alpha ^2}}}{2}}$ όπου $\displaystyle{\alpha }$ η πλευρά του τετραγώνου

Ισχύει, $\displaystyle{\cos \phi = \frac{{P{A^2} + P{B^2} - {\alpha ^2}}}{{2PA \cdot PB}} \Rightarrow \cot \phi = \frac{{P{A^2} + P{B^2} - {\alpha ^2}}}{{2PA \cdot PB\sin \phi }}}$ \displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow \cot \phi = \frac{{P{A^2} + P{B^2} - {\alpha ^2}}}{{4E}}}} $\displaystyle{\left( 1 \right)}$

$\displaystyle{\tan \theta }$ γίνεται ελάχιστη για τη θέση του $\displaystyle{S}$ για την οποία $\displaystyle{\cot \phi = \min }$ .

Επειδή όμως $\displaystyle{4E}$ σταθερά , $\displaystyle{\cot \phi = \min }$ όταν $\displaystyle{P{A^2} + P{B^2} - {\alpha ^2} = \min \Rightarrow P{A^2} + P{B^2} = \min}$

Αλλά από θ.διαμέσων $\displaystyle{ \Rightarrow P{A^2} + P{B^2} = 2P{O^2} + \frac{{{\alpha ^2}}}{2}}$

Έτσι $\displaystyle{P{A^2} + P{B^2} = \min }$ όταν $\displaystyle{PO = \min }$ που ισχύει όταν $\displaystyle{PO \bot CD \Rightarrow P}$ μέσον της $\displaystyle{CD}$

Με $\displaystyle{P \equiv M \Rightarrow P{A^2} + P{B^2} - {\alpha ^2} = 2M{A^2} - {\alpha ^2} = \frac{{3{\alpha ^2}}}{2}}$ κι από την $\displaystyle{\left( 1 \right)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\tan \theta = \cot \phi = \frac{3}{4}}}$

: el.ef.png (19.24 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

#4

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη.pngΗμικύκλιο έχει ως διάμετρο , την πλευρά τετραγώνου .

Έστω τυχαίο σημείο του ημικυκλίου . Η κάθετη της στο , τέμνει

την πλευρά στο σημείο . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της $tan\widehat{PAS}$

Καλησπέρα σε όλους . Μια ακόμη άποψη λίγο διαφορετική από του Γιώργου .

Αν το ημικύκλιο κόψει την

στο

, το σημείο τομής

των

είναι

ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle PAB$ γιατί τα AS,BZ

είναι ύψη του .

Έστω

το τρίτο ύψος του τριγώνου αυτού

Η γωνία $\theta$ γίνεται ελάχιστη όταν η συμπληρωματική της

$\widehat {APB} = \omega + \phi$ γίνει μέγιστη , $0^\circ < \omega < 45^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,0^\circ < \phi < 45^\circ$ .

Θέτουμε $AT = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = v\,\,$ και τη πλευρά του τετραγώνου με

. Προφανές PT = 2a

: Ελάχιστη εφαπτομένη.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Επειδή $\varepsilon \varphi \omega + \varepsilon \varphi \phi = \dfrac{u}{{2a}} + \dfrac{v}{{2a}} = 1$ (σταθερό) άρα το γινόμενο $\varepsilon \varphi \omega \cdot \varepsilon \varphi \phi$ γίνεται

μέγιστο αν $\varepsilon \varphi \omega = \varepsilon \varphi \phi \Rightarrow u = v\,\,\,(1)$ . Επειδή όμως

$\varepsilon \varphi (\omega + \phi ) = \dfrac{{\varepsilon \varphi \omega + \varepsilon \varphi \phi }}{{1 - \varepsilon \varphi \omega \cdot \varepsilon \varphi \phi }} = \dfrac{1}{{1 - \varepsilon \varphi \omega \cdot \varepsilon \varphi \phi }}\,\,\,(2)$ , η ποσότητα αυτή γίνεται μέγιστη

Όταν ο παρανομαστής ( που είναι πάντα θετική ποσότητα) , $1 - \varepsilon \varphi \omega \cdot \varepsilon \varphi \phi$ γίνει

ελάχιστος δηλαδή $\varepsilon \varphi \omega \cdot \varepsilon \varphi \phi$ γίνει μέγιστο , οπότε τελικά η γωνία $\theta$ έχει μικρότερη

δυνατή τιμή όταν το τρίγωνο $\vartriangle PAB$ είναι ισοσκελές .

Τότε από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχουμε : $\varepsilon \varphi \omega = \varepsilon \varphi \phi = \dfrac{1}{2}$ και $\varepsilon \varphi (\omega + \phi ) = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \boxed{\varepsilon \varphi \theta = \dfrac{3}{4}}$ .

Φιλικά , Νίκος

S.E.Louridas · #5

Θεωρώ ότι από το εγγράψιμο DPSA

αρκεί από το

να θεωρήσω την εφαπτομένη στο ημικύκλιο και να βρω την επίμαχη θέση του

ως ζητούμενου σημείου.

#6

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρώ ότι από το εγγράψιμο αρκεί από το να θεωρήσω την εφαπτομένη στο ημικύκλιο και να βρω την επίμαχη θέση του ως ζητούμενου σημείου.

Βεβαίως τότε η χορδή

γίνεται παράλληλη στην

. Πολύ ωραίο και απλό !

Σωτήρη

Φιλικά, Νίκος

S.E.Louridas · #7

...Επειδή στη θέση αυτή μεγιστοποιείται η $\angle ADS$ ...

KARKAR · #8

: Ελάχιστη εφαπτομένη.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Η $\omega$ μεγιστοποιείται , όταν το

, καταστεί μέσο της

( γιατί ; ) και τότε

ελαχιστοποιείται η $\theta$ ( άρα και η εφαπτομένη της ) . Μετά απλοί υπολογισμοί ...

#9

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη εφαπτομένη.png Η $\omega$ μεγιστοποιείται , όταν το , καταστεί μέσο της ( γιατί ; ) και τότε

ελαχιστοποιείται η $\theta$ ( άρα και η εφαπτομένη της ) . Μετά απλοί υπολογισμοί ...

Ωραία

.

Αν

τα μέσα των DC,AB

,για κάθε θέση του

ανάμεσα στα D,N

η

τέμνει το τμήμα

στο

και είναι $\xi > \omega$ ( εξωτερική στο τρίγωνο $\vartriangle PAL$ )

Αν τώρα το

στα

η

τέμνει το

και προκύπτουν παρόμοια

: Ελάχιστη εφαπτομένη_εχτρα.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

συμπεράσματα. .¨όταν το $P \equiv N$ τότε $\omega \equiv \xi$ και γίνεται μέγιστη .

S.E.Louridas · #10

KARKAR έγραψε: Η $\omega$ μεγιστοποιείται , όταν το , καταστεί μέσο της ( γιατί ; ) και τότε ελαχιστοποιείται η $\theta$ ( άρα και η εφαπτομένη της ) . Μετά απλοί υπολογισμοί ...

Με την καλημέρα μου δίνω το σχήμα που εκφράζει την ημέτερη διαπραγμάτευση στο θέμα που έθεσε ο Θανάσης.
Παρατηρούμε βέβαια ότι ο ελάχιστος περιγεγραμμένος κύκλος των τριγώνων PAB

, είναι o διερχόμενος από τα σημεία A,B

και είναι εφαπτόμενος στην

, προφανώς στο μέσον της

.

Ελάχιστη εφαπτομένη

Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση