Διέρχεται από σταθερό σημείο

[george visvikis]

Σταθερό σημείο.png (16.24 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

Δίνεται κύκλος , μία χορδή του και ένα τυχαίο σημείο του , ώστε . Επί της θεωρώ σημείο

ώστε και από το φέρνω ευθεία κάθετη στην . Να δείξετε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο.

[Ορέστης Λιγνός]

Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

qw12

STATHERO.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

Θα αποδείξουμε ότι το σημείο τομής της και του κύκλου είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του με τον κύκλο, δηλαδή σταθερό σημείο.

Έστω το σημείο τομής της μεσοκαθέτου με τον κύκλο. Θα δείξουμε ότι .

Παίρνουμε σημείο στην ώστε , και από την εκφώνηση, .

Ισχύει και οι γωνίες ίσες.

Άρα, αφού , η είναι μεσοκάθετος του .

Έτσι, .

Τελικά, το είναι ισοσκελές και διάμεσός του. Άρα, .

[Doloros]

Σταθερό σημείο.png
Δίνεται κύκλος , μία χορδή του και ένα τυχαίο σημείο του , ώστε . Επί της θεωρώ σημείο

ώστε και από το φέρνω ευθεία κάθετη στην . Να δείξετε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο.

Γεια Γιώργο , γεια σου θηρίο Ορέστη.

Ας είναι το σημείο τομής της με τον κύκλο .

Γράφουμε και το κύκλο που τέμνει την στο .

Προφανώς η μεσοκάθετος στο κι αφού ως αμβλυγώνια και

με βάσει το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων , θα είναι , δηλαδή η

ευθεία διέρχεται από το «νότιο πόλο».

περνά απο σταθερό σημείο.png (35.13 KiB) Προβλήθηκε 1263 φορές

Φιλικά

Νίκος

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μια λίγο πιο περίεργη λύση, αν και μπορεί να μην είναι σωστή.
Προεκτείνουμε την κατά τμήμα .

Προφανώς το είναι το μέσο του και η (ε) είναι η μεσοκάθετος του .

Έστω το σημείο τομής της (ε) με το κύκλο (στο μικρό τόξο). Θα αποδείξουμε πως τα τρίγωνα και είναι ίσα.

Αυτά έχουν:


(επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές)


Χρησιμοποιώντας το κριτήριο των αμβλυγώνιων τριγώνων οι γωνίες και είναι ή ίσες ή παραπληρωματικές. Στην δεύτερη περίπτωση όμως θα έπρεπε να ίσχυε πως , που είναι σαφώς άτοπο.

Άρα οι γωνίες είναι ίσες, συνεπώς και τα τρίγωνα, δηλαδή και το ζητούμενο έπεται.

Edit: προστέθηκε το σχήμα

[Doloros]

Μια λίγο πιο περίεργη λύση, αν και μπορεί να μην είναι σωστή.
Προεκτείνουμε την κατά τμήμα .

Προφανώς το είναι το μέσο του και η (ε) είναι η μεσοκάθετος του .

Έστω το σημείο τομής της (ε) με το κύκλο (στο μικρό τόξο). Θα αποδείξουμε πως τα τρίγωνα και είναι ίσα.

Αυτά έχουν:


(επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές)

περνά απο σταθερό σημείο_Adamopulos.png (38.63 KiB) Προβλήθηκε 1232 φορές

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο των αμβλυγώνιων τριγώνων οι γωνίες και είναι ή ίσες ή παραπληρωματικές. Στην δεύτερη περίπτωση όμως θα έπρεπε να ίσχυε πως , που είναι σαφώς άτοπο.

Άρα οι γωνίες είναι ίσες, συνεπώς και τα τρίγωνα, δηλαδή και το ζητούμενο έπεται.

[george visvikis]

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις

Μάλλον ατυχής επιλογή φακέλου. Η άσκηση δημιουργήθηκε ως διασκευή μιας άλλης, η οποία αντιμετωπιζόταν με ύλη μεγαλυτέρων

τάξεων και στήριξα όλη την κατασκευή σε αυτή τη λύση. Τώρα βλέπω ότι θα ταίριαζε περισσότερο σε φάκελο Α' Λυκείου

Να συμπληρώσω απλώς ότι όταν το κινείται στο μικρό τόξο, τότε το σταθερό σημείο είναι το μέσο του μεγάλου τόξου .