Συμπληρώσεις στην ανάρτηση: Εύρεση διαιρετών σύνθετου θετικού αριθμού

ΗρακληςΕυαγγελινος · #1

Ένας φοιτητής που είδε την πιο πάνω ανάρτησή μου, μου ζήτησε δύο διευκρινίσεις για την 1η πρόταση: "πώς βρίσκουμε το πλήθος των διαιρετών ενός θετικού σύνθετου αριθμού".

Πρώτη ερώτηση
Αν $\rho$ πρώτος αριθμός και $\nu$ φυσικός αριθμός, γιατί η παράσταση $\rho^{\nu}$ έχει $(\nu+1)$ διαιρέτες και όχι $\nu$ .

Απάντηση

Οι διαιρέτες του $\rho^{\nu}$ είναι $\rho^0=1, \rho^1, \rho^2, ..., \rho^{\nu}$ , δηλαδή $(\nu+1), N=\left\{0, 1, 2, ...\right\}$

Δεύτερη ερώτηση
Αν έχουμε το θετικό ακέραιο $\alpha$ , γραμμένο στην κανονική του μορφή, μετά την ανάλυσή του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
$\alpha=\rho^{\nu_1}_1\cdot\rho^{\nu_2}_2\cdot ...\cdot\rho^{\nu_\kappa}_\kappa$ , όπου $\rho_1, \rho_2, ...\rho_\kappa$ πρώτοι αριθμοί και $\nu_1, \nu_2, ..., \nu_\kappa$ φυσικοί αριθμοί $\neq 0$ , τότε το πλήθος των αντίστοιχων διαιρετών του είναι $(\nu_1+1), (\nu_2+1), ..., (\nu_\kappa+1)$ . Γιατί το πλήθος των διαιρετών του $\alpha$ είναι $(\nu_1+1)(\nu_2+1)...(\nu_\kappa+1)$ .

Απάντηση

Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τη θεμελιώδη Αρχή Υπολογισμού ή Αρχή της Απαρίθμησης: "Αν ένα απλό έργο μπορεί να γίνει κατά $\nu_1$ διαφορετικούς τρόπους και κατόπιναυτού άλλο απλό έργο μπορέι να γίνει κατά $\nu_2$ διαφορετικούς τρόπους, τότε και τα δύο απλά έργα, μπορούν να γίνουν κατά την εκτεθείσα σειρά, κατά $\nu_1\cdot\nu_2$ διαφορετικούς τρόπους(πιθανότητα Εισαγωγή Samuel Goldberg)".

Ένα πρακτικό παράδειγμα
Αν έχω μια μικρή ποσότητα σιταριού και 4 μύλους $(\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4)$ και πρέπει όλο το σιτάρι να αλεσθεί από τον ίδιο μύλο, αυτό μπορέι να γίνει κατά 4 τρόπους. Αν τώρα έχω 3 κόσκινα $(\kappa_1, \kappa_2, \kappa_3)$ και πρέπει όλη η ποσότητα από αλεύρι να κοσκινισθεί από το ίδιο κόσκινο, τότε για καθένα από τους προηγούμενους τρόπους αλέσματος, θα έχω 3 τρόπους κοσκινίσματος, δηλαδή σύνολο 4 $\cdot$ 3. Αν ακόμη έχω 2 ζυμωτήρια $(\zeta_1, \zeta_2)$ και πρέπει όλη η ποσότητα από το κοσκινισμένο αλεύρι να ζυμωθεί από το ίδιο ζυμωτήριο, τότε για την κάθε προηγούμενη περίπτωση θα έχω δύο τρόπους. Δηλαδή, για να φτάσω στο τελικό αποτέλεσμα, θα έχω $(4\cdot3)\cdot2=24$ τρόπους. Αυτό φαίνεται πολύ καλά με δενδροδιάγραμμα.

Τις παραπάνω παρατηρήσεις αναρτώ στο Mathematica σκεπτόμενος ότι πιθανόν να βοηθήσουν και άλλους φοιτητές ή μαθητές να κατανοήσουν την ιδιότητα αυτή.

Συμπληρώσεις στην ανάρτηση: Εύρεση διαιρετών σύνθετου θετικού αριθμού

Συμπληρώσεις στην ανάρτηση: Εύρεση διαιρετών σύνθετου θετικού αριθμού

Μέλη σε σύνδεση